function [U, S, V] = bidiagonal_svd(A) [m, n] = size(A); % 初始化 U = eye(m); V = eye(n); % 双边Jacobi迭代 while 1 % 判断是否达到精度或迭代次数是否超过限制 if max(max(abs(tril(A, -1)))) < eps || max(max(abs(triu(A, 1)))) < eps break; end for i = 1:n-1 % 计算Givens旋转角度 [c, s] = givens(A(i, i), A(i+1, i)); % 对A进行Givens旋转 G = [c s; -s c]; A(i:i+1, :) = G * A(i:i+1, :); V(:, i:i+1) = V(:, i:i+1) * G'; end for i = 1:m-1 % 计算Givens旋转角度 [c, s] = givens(A(i, i), A(i, i+1)); % 对A进行Givens旋转 G = [c s; -s c]; A(:, i:i+1) = A(:, i:i+1) * G; U(:, i:i+1) = U(:, i:i+1) * G'; end end % 提取奇异值 S = diag(diag(A)); end function [c, s] = givens(a, b) % 计算Givens旋转角度 if b == 0 c = 1; s = 0; elseif abs(b) > abs(a) t = -a / b; s = 1 / sqrt(1 + t^2); c = s * t; else t = -b / a; c = 1 / sqrt(1 + t^2); s = c * t; end end

这段代码实现了基于双边Jacobi迭代的奇异值分解（SVD）。SVD是一种很重要的矩阵分解方法，在数据分析、图像处理等领域都有广泛应用。

该函数输入一个矩阵A，输出它的奇异值分解结果，即矩阵U、S和V，其中U和V都是正交矩阵，S是一个对角矩阵，对角线上的元素就是A的奇异值。

在实现过程中，使用了Givens旋转来进行双边Jacobi迭代。具体来说，先将A进行一次列向的Givens旋转，然后再进行一次行向的Givens旋转，这样就完成了一轮迭代。不断迭代直到达到精度或迭代次数超过限制为止。

Givens旋转是一种特殊的矩阵变换，可以将矩阵中的某两个元素变成0。在本函数中，利用Givens旋转，使得A的下三角部分和上三角部分都变成0，最后对角线上的元素就是A的奇异值。

需要注意的是，在实际应用中，通常使用MATLAB等高级语言提供的SVD函数，因为这些函数已经进行了优化和加速，能够更快地计算出奇异值分解结果。

相关问题

def SVD_embed(im, wm, strength, blk_size): U, S, V = block_SVD(im, blk_size) S_new = embed(S, wm, strength) im_wm = block_ISVD(U, S_new, V, blk_size) return im_wm def SVD_extract(im_wm, im, strength, block_size): _, S, _ = block_SVD(im, block_size) _, S_wm, _ = block_SVD(im_wm, block_size) tmp = S_wm - S wm_ex = np.empty_like(tmp, dtype=int) for i in range(tmp.shape[0]): for j in range(tmp.shape[1]): wm_ex[i, j] = np.sum(tmp[i, j]) wm_ex = wm_ex / block_size[0] / strength return wm_ex def embed(S, wm, strength): wm = wm.flatten() row, col = S.shape S = S.flatten() for i in range(S.size): S[i] = S[i] + strength * wm[i] S = S.reshape(row, col) return S这段代码什么意思

这段代码实现了基于SVD的数字水印嵌入和提取算法。具体来说，它包括以下两个函数：

- SVD_embed(im, wm, strength, blk_size): 该函数输入原始图像im，数字水印wm，嵌入强度strength和块大小blk_size，输出嵌入数字水印后的图像im_wm。
- SVD_extract(im_wm, im, strength, block_size): 该函数输入嵌有数字水印的图像im_wm，原始图像im，嵌入强度strength和块大小block_size，输出提取出的数字水印wm_ex。

具体来说，SVD_embed函数首先将原始图像im分成大小为blk_size的块，对每个块进行SVD分解，并将数字水印嵌入到分解后的S矩阵中。然后通过逆SVD变换，将嵌有数字水印的块合并成嵌入数字水印后的图像im_wm。

SVD_extract函数则是将原始图像im和嵌有数字水印的图像im_wm都分成大小为block_size的块，对每个块进行SVD分解，计算出嵌有数字水印的块和原始块的S矩阵之差，并将差值除以块大小和嵌入强度得到数字水印。最后将数字水印wm_ex返回。

U,S,V = svd(sigma)

这行代码是奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）的一部分，其中sigma是待分解的矩阵。SVD是一种矩阵分解技术，将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积：A = UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵。这种分解在很多机器学习算法中都有应用，如主成分分析、矩阵降维等。在这行代码中，U、Σ和V是SVD的结果，分别代表左奇异向量矩阵、奇异值对角矩阵和右奇异向量矩阵。