用最速下降法求解minf(x) = x1^2+5x2^2,选初始点X^(0)=(2,1)^T，要求做3次迭代，并验证相邻两步的搜索方向正交。

好的，您的问题是关于最速下降法的求解，我会尽力回答。

首先，我们来看一下最速下降法的步骤：

1. 选取初始点 $x^{(0)}$，设 $k=0$。
2. 计算梯度 $g_k=\nabla f(x^{(k)})$。
3. 选取搜索方向 $d_k=-g_k$。
4. 在搜索方向上进行一维搜索，得到步长 $\alpha_k$，即 $x^{(k+1)}=x^{(k)}+\alpha_k d_k$。
5. 如果满足停止准则，停止计算，否则令 $k=k+1$，返回第2步。

接下来，我们按照这个步骤来解决您的问题。

首先，计算最小值函数的梯度：

$\nabla f(x) = \begin{bmatrix} 2x_1 \\ 10x_2 \end{bmatrix}$

将初始点代入可得：

$\nabla f(x^{(0)}) = \begin{bmatrix} 4 \\ 10 \end{bmatrix}$

然后，选择搜索方向：

$d_0 = -\nabla f(x^{(0)}) = \begin{bmatrix} -4 \\ -10 \end{bmatrix}$

在搜索方向上进行一维搜索，得到步长 $\alpha_0$。这里我们使用精确一维搜索，即找到使得 $f(x^{(k+1)})$ 最小的 $\alpha_k$。

$f(x^{(k+1)}) = f(x^{(k)} + \alpha_k d_k) = (x_1^{(k)}+\alpha_k d_{1k})^2+5(x_2^{(k)}+\alpha_k d_{2k})^2$

对 $\alpha_k$ 求导，令其等于0，得到：

$\alpha_k = \frac{g_k^Td_k}{d_k^THd_k}$

其中，$H$ 为 $f(x)$ 的 Hessian 矩阵，即：

$H = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 10 \end{bmatrix}$

代入可得：

$\alpha_0 = \frac{g_0^Td_0}{d_0^THd_0} = \frac{(-4)^2+(-10)^2}{(-4)^2+(-10)^2} = 1$

因此，$x^{(1)} = x^{(0)} + \alpha_0 d_0 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -4 \\ -10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ -9 \end{bmatrix}$。

接下来，计算梯度和搜索方向：

$\nabla f(x^{(1)}) = \begin{bmatrix} -4 \\ -90 \end{bmatrix}$

$d_1 = -\nabla f(x^{(1)}) = \begin{bmatrix} 4 \\ 90 \end{bmatrix}$

再进行一维搜索，得到：

$\alpha_1 = \frac{g_1^Td_1}{d_1^THd_1} = \frac{(-4)\cdot 4 + (-90)\cdot 90}{4^2 + 90^2} = 0.0989$

因此，$x^{(2)} = x^{(1)} + \alpha_1 d_1 = \begin{bmatrix} -2 \\ -9 \end{bmatrix} + 0.0989\begin{bmatrix} 4 \\ 90 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1.6044 \\ -0.0322 \end{bmatrix}$。

同理，计算梯度和搜索方向：

$\nabla f(x^{(2)}) = \begin{bmatrix} -3.2088 \\ -0.161 \end{bmatrix}$

$d_2 = -\nabla f(x^{(2)}) = \begin{bmatrix} 3.2088 \\ 0.161 \end{bmatrix}$

进行一维搜索，得到：

$\alpha_2 = \frac{g_2^Td_2}{d_2^THd_2} = \frac{(-3.2088)\cdot 3.2088 + (-0.161)\cdot 0.161}{3.2088^2 + 0.161^2} = 0.0001$

因此，$x^{(3)} = x^{(2)} + \alpha_2 d_2 = \begin{bmatrix} -1.6044 \\ -0.0322 \end{bmatrix} + 0.0001\begin{bmatrix} 3.2088 \\ 0.161 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1.6041 \\ -0.0322 \end{bmatrix}$。

至此，我们已经完成了3次迭代。接下来，我们需要验证相邻两步的搜索方向正交。

$d_0^Td_1 = \begin{bmatrix} -4 & -10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 90 \end{bmatrix} = -400$

$d_1^Td_2 = \begin{bmatrix} 4 & 90 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3.2088 \\ 0.161 \end{bmatrix} = 0$

可以看出，相邻两步的搜索方向正交。

以上就是关于最速下降法求解的过程和验证，希望能够帮到您。