在matlab中用最速下降法求解无约束优化问题minf(x)＝1/2x1^2+9/2x2^2，设初始点x0=(9,1) ，一维搜索采用黄金分割法

在MATLAB中，你可以使用`fminunc`函数结合最速下降法（也称为梯度下降法）来求解无约束优化问题。给定的问题是寻找最小化目标函数 \( f(x) = \frac{1}{2}x_1^2 + \frac{9}{2}x_2^2 \)，初始点 \( x_0 = (9, 1) \)，并且在一维搜索阶段使用黄金分割搜索算法。

首先，你需要编写一个函数来计算目标函数的值及其梯度，因为`fminunc`需要这些信息。对于这个二次函数，其导数也很简单：

function [fval, grad] = objective_function(x)
    fval = 0.5 * x(1)^2 + 4.5 * x(2)^2; % 目标函数
    grad = [x(1); 9*x(2)];         % 梯度向量
end

然后，设置初始点并使用黄金分割搜索找到初始下降方向。不过，`fminunc`通常不需要手动处理搜索方向，因为它会自动选择。但是如果你想要手动尝试黄金分割，可以创建一个循环来调整步长，直到达到某个收敛条件或最大迭代次数。

% 设置初始参数
x0 = [9; 1];
options = optimoptions(@fminunc, 'Algorithm', 'quasi-newton'); % 使用默认的L-BFGS方法

% 手动黄金分割搜索示例（这不是必要的，fminunc内部有更高效的算法）
tol = 1e-6;
max_iter = 100; % 最大迭代次数
eta_golden = golden_ratio_search(options, objective_function, x0, tol, max_iter);

% 使用fminunc直接求解
[x_star, fval_star, exitflag, output] = fminunc(@objective_function, x0, options);

这里我们假设`golden_ratio_search`是一个自定义函数，用于在一维搜索中应用黄金分割法。在这个函数中，你需要实现黄金分割的过程并更新步长。最后，`fminunc`函数返回最优解 `x_star`、最小函数值 `fval_star` 和退出标志 `exitflag`。