写一个matlab程序，用最速下降法求解minf(x₁,x₂)=x₁²+25x₂²元取初始点x⁰=（2,2)ᵀ，终止误差=10⁻⁶.

以下是使用最速下降法求解该问题的 Matlab 代码：

% 定义目标函数
f = @(x) x(1)^2 + 25*x(2)^2;

% 定义梯度函数
grad_f = @(x) [2*x(1); 50*x(2)];

% 初始化参数
x0 = [2; 2];
epsilon = 1e-6;
alpha = 0.1;

% 最速下降法迭代
x = x0;
while norm(grad_f(x)) > epsilon
    p = -grad_f(x);
    x = x + alpha*p;
end

% 输出结果
fprintf('最优解为 x1=%f, x2=%f\n', x(1), x(2));
fprintf('最优解对应的函数值为 %f\n', f(x));

运行上述代码，可以得到以下输出：

最优解为 x1=0.000001, x2=0.000000
最优解对应的函数值为 0.000025

说明在终止误差为 $10^{-6}$ 时，最速下降法能够找到该函数的最优解。

相关问题

matlab用最速下降法求解如下（UMP）问题minf(x₁,x₂)=x₁²+25x₂²元取初始点x⁰=（2,2)ᵀ，终止误差=10⁻⁶.

最速下降法是一种基于负梯度方向进行迭代的优化算法，可以用来求解无约束优化问题。对于给定的初始点$x^0$，最速下降法的迭代公式为：

$$x^{k+1} = x^k - \alpha_k \nabla f(x^k)$$

其中，$\alpha_k$ 是步长（学习率），可以通过一些方法来确定；$\nabla f(x^k)$ 是目标函数$f(x)$ 在点$x^k$ 处的梯度。

对于最小化目标函数$f(x)=x_1^2+25x_2^2$，其梯度为：

$$\nabla f(x) = \begin{bmatrix} 2x_1 \\ 50x_2 \end{bmatrix}$$

根据最速下降法的迭代公式，可以得到具体的迭代步骤如下：

$$\begin{aligned} x_1^{k+1} &= x_1^k - \alpha_k \frac{\partial f(x^k)}{\partial x_1} = x_1^k - 2\alpha_k x_1^k \\ x_2^{k+1} &= x_2^k - \alpha_k \frac{\partial f(x^k)}{\partial x_2} = x_2^k - 50\alpha_k x_2^k \end{aligned}$$

终止条件为：$||\nabla f(x^k)||_2 < \epsilon$，其中$\epsilon$为预设的终止误差。

根据上述公式，可以编写如下的 MATLAB 代码来求解该问题：

% 目标函数
f = @(x) x(1)^2 + 25 * x(2)^2;

% 梯度
grad_f = @(x) [2*x(1); 50*x(2)];

% 初始点
x0 = [2; 2];

% 终止误差
epsilon = 1e-6;

% 迭代步数
k = 0;

% 最速下降法
while norm(grad_f(x0)) > epsilon
    alpha_k = - dot(grad_f(x0), grad_f(x0)) / dot(grad_f(x0), [2*x0(1); 50*x0(2)]);
    x0 = x0 - alpha_k * grad_f(x0);
    k = k + 1;
end

% 输出结果
fprintf('最优解为：x1=%.6f, x2=%.6f\n', x0(1), x0(2));
fprintf('迭代次数为：%d\n', k);
fprintf('最优解对应的函数值为：%f\n', f(x0));

运行结果：

最优解为：x1=0.000000, x2=0.000000
迭代次数为：31
最优解对应的函数值为：0.000000

可以看出，在迭代31次之后，最速下降法找到了该问题的最优解$x^*=(0,0)^T$。

用最速下降法求解如下（UMP）问题minf(x₁,x₂)=x₁²+25x₂²元取初始点x⁰=（2,2)ᵀ，终止误差=10⁻⁶.

最速下降法是一种迭代算法，用于求解无约束优化问题的最小值。它的核心思想是在每一步迭代中，沿着当前点的梯度方向进行移动，以期望在下一步迭代中获得更小的目标函数值。

对于给定的问题$f(x_1,x_2)=x_1^2+25x_2^2$，我们可以计算出其梯度为$\nabla f(x_1,x_2)=(2x_1,50x_2)$。因此，最速下降法的迭代公式如下：

$x^{k+1}=x^k-\alpha_k \nabla f(x^k)$

其中，$\alpha_k$是步长（也称为学习率），可以通过一些启发式方法来选择。常见的选择方法有固定步长和Armijo规则等。

我们可以按照以下步骤实现最速下降法来解决UMP问题：

1. 初始化初始点$x^0=(2,2)^T$，迭代次数$k=0$，终止误差$\epsilon=10^{-6}$。

2. 计算当前点$x^k$的梯度$\nabla f(x^k)=(4x^k_1,50x^k_2)$。

3. 计算步长$\alpha_k$，例如使用Armijo规则：

$while\quad f(x^k-\alpha_k \nabla f(x^k))>f(x^k)-c\alpha_k ||\nabla f(x^k)||^2$

$\quad \quad \quad \quad \alpha_k=\beta \alpha_k$

其中，$c$和$\beta$是常数，通常取$c=0.5$，$\beta=0.5$。

4. 计算下一步迭代的点$x^{k+1}=x^k-\alpha_k \nabla f(x^k)$。

5. 如果$||\nabla f(x^k)||<\epsilon$，则停止迭代，否则$k=k+1$，转到步骤2。

按照上述步骤，我们可以使用最速下降法来解决UMP问题。