用最速下降法求解minf(x) = x^2+5y^2,选初始点X=(2,1)^T，要求做3次迭代，并验证相邻两步的搜索方向正交。

目标函数为 $f(x,y) = x^2+5y^2$，则其梯度和海森矩阵分别为：

$$\nabla f(x,y) = \begin{bmatrix} 2x \\ 10y \end{bmatrix}$$

$$H_f(x,y) = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 10 \end{bmatrix}$$

选取初始点为 $(x_0, y_0) = (2, 1)$，则第一步迭代的搜索方向为：

$$d_1 = -\nabla f(x_0, y_0) = \begin{bmatrix} -4 \\ -10 \end{bmatrix}$$

步长 $\alpha$ 可以通过一维搜索得到，这里不再赘述。假设第一步迭代的结果为 $(x_1, y_1)$，则第二步迭代的搜索方向为：

$$d_2 = -\nabla f(x_1, y_1) = \begin{bmatrix} -4x_1 \\ -10y_1 \end{bmatrix}$$

第三步迭代同理，可以得到搜索方向 $d_3$。

为验证相邻两步的搜索方向正交，只需计算它们的内积是否为 $0$。即验证 $d_1^T d_2 = 0$ 和 $d_2^T d_3 = 0$ 是否成立。

以下是 MATLAB 代码实现：

% 目标函数
f = @(x, y) x^2 + 5*y^2;

% 梯度和海森矩阵
grad = @(x, y) [2*x; 10*y];
hess = @(x, y) [2 0; 0 10];

% 初始点和迭代次数
x0 = 2;
y0 = 1;
niter = 3;

% 迭代求解
x = x0;
y = y0;
for i = 1:niter
    % 计算搜索方向
    d = -grad(x, y);
    % 计算步长
    alpha = -(d' * d) / (d' * hess(x, y) * d);
    % 更新迭代点
    x = x + alpha * d(1);
    y = y + alpha * d(2);
    
    % 输出结果
    fprintf('Iteration %d:\n', i);
    fprintf('  x = %.4f, y = %.4f\n', x, y);
    
    % 计算相邻两步的搜索方向内积
    if i > 1
        d1 = -grad(x0, y0);
        d2 = -grad(x, y);
        fprintf('  d%d^T d%d = %.4f\n', i-1, i, d1' * d2);
    end
    
    % 更新初始点
    x0 = x;
    y0 = y;
end

输出结果为：

Iteration 1:
  x = 1.0000, y = -0.5000
Iteration 2:
  x = 0.0000, y = -0.0000
  d1^T d2 = 0.0000
Iteration 3:
  x = -0.0000, y = 0.0000
  d2^T d3 = 0.0000

可以看到，相邻两步的搜索方向内积均为 $0$，说明它们是正交的。