4．线性方程组求解 分别用直接法求解方程组 2x1+x2-5x3+ x4=3 x1-5x3+7 x4=-9 2x2+x3- x4=6 x1+6x2-x3-4x4=0

这是一个4元1次线性方程组，可以使用高斯消元法或LU分解法进行求解。

我们先使用高斯消元法：

将方程组转化为增广矩阵：

| 2 -5 1 1 | 3 |
| --- | --- |
| 1 0 -5 7 | -9 |
| 0 2 -1 1 | 6 |
| 1 6 -1 -4 | 0 |

第一步，将第一行除以2得到：

| 1 -2.5 0.5 0.5 | 1.5 |
| --- | --- |
| 1 0 -5 7 | -9 |
| 0 2 -1 1 | 6 |
| 1 6 -1 -4 | 0 |

第二步，将第二行减去第一行得到：

| 1 -2.5 0.5 0.5 | 1.5 |
| --- | --- |
| 0 2.5 -5.5 6.5 | -10.5 |
| 0 2 -1 1 | 6 |
| 1 6 -1 -4 | 0 |

第三步，将第三行减去第一行得到：

| 1 -2.5 0.5 0.5 | 1.5 |
| --- | --- |
| 0 2.5 -5.5 6.5 | -10.5 |
| 0 5 -2 0.5 | 4.5 |
| 0 8.5 -1.5 -4.5 | -1.5 |

第四步，将第二行除以2.5得到：

| 1 -2.5 0.5 0.5 | 1.5 |
| --- | --- |
| 0 1 -2.2 2.6 | -4.2 |
| 0 5 -2 0.5 | 4.5 |
| 0 8.5 -1.5 -4.5 | -1.5 |

第五步，将第三行减去第二行的5倍得到：

| 1 -2.5 0.5 0.5 | 1.5 |
| --- | --- |
| 0 1 -2.2 2.6 | -4.2 |
| 0 0 7 -11.5 | 27 |
| 0 8.5 -1.5 -4.5 | -1.5 |

第六步，将第三行除以7得到：

| 1 -2.5 0.5 0.5 | 1.5 |
| --- | --- |
| 0 1 -2.2 2.6 | -4.2 |
| 0 0 1 -1.643 | 3.857 |
| 0 8.5 -1.5 -4.5 | -1.5 |

第七步，将第二行加上第三行的2.2倍得到：

| 1 -2.5 0.5 0.5 | 1.5 |
| --- | --- |
| 0 1 0 -0.383 | -0.686 |
| 0 0 1 -1.643 | 3.857 |
| 0 8.5 -1.5 -4.5 | -1.5 |

第八步，将第三行加上第二行的1.643倍得到：

| 1 -2.5 0.5 0.5 | 1.5 |
| --- | --- |
| 0 1 0 -0.383 | -0.686 |
| 0 0 1 0 | 3.25 |
| 0 8.5 0.143 -4.5 | 1.464 |

第九步，将第三行减去第二行的0.143倍得到：

| 1 -2.5 0.5 0.5 | 1.5 |
| --- | --- |
| 0 1 0 -0.383 | -0.686 |
| 0 0 1 0 | 3.25 |
| 0 8.5 0 -4.357 | 1.132 |

第十步，将第三行加上第四行的8.5倍得到：

| 1 -2.5 0.5 0.5 | 1.5 |
| --- | --- |
| 0 1 0 -0.383 | -0.686 |
| 0 0 1 0 | 3.25 |
| 0 0 0 -7.275 | 28.154 |

解得：x1 = 1.5，x2 = -0.686，x3 = 3.25，x4 = -3.866。

因此，线性方程组的解为 (1.5, -0.686, 3.25, -3.866)。