给定一个 n* m 的棋盘，要在这个棋盘上放置 k 个相互不攻击的車，也就是这 k 个车中，任意两个車都不会在同一行或同一列的棋盘格中。 问有多少种放置方案。

这是一个典型的组合问题，可以使用组合数学中的排列组合来解决。首先，在n * m的棋盘上，每一列和每一行最多只能放一个車，那么我们可以选择k列和k行，使得这些列和行上都放上一个車。这样，对于剩余的(n-k)列和(m-k)行，每一行和每一列都最多只能放一个車，因此，我们可以使用排列组合的方法，从剩余行和列中选择k个位置来放置車。那么总的方案数就是C(n,k) * C(m,k) * P(n-k, k) * P(m-k,k)。其中，C(n,k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数，P(n,k)表示从n个元素中选择k个元素的排列数。

相关问题

在N*N的方格棋盘放置了N个皇后，使得它们不相互攻击（即任意2个皇后不允许处在同一排，同一列，也不允许处在与棋盘边框成45角的斜线上。 你的任务是，对于给定的N，求出有多少种合法的放置方法

可以使用经典的回溯算法来解决8皇后问题，但是当N较大时Computational complexity of O(n!) 会很高，时间复杂度比较差。如果采用一些优化技巧，例如采用剪枝策略、对称性减少计算等等，时间复杂度可以有所改善。另外，还有一些更高效的算法可以解决N皇后问题，例如Dancing Links算法。具体的代码可以通过互联网搜索到。

给定一个n*n的棋盘，棋盘中有一些位置不能放皇后。现在要向棋盘中放入n个黑皇后和n个白皇后，使任意的两个黑皇后都不在同一行、同一列或同一条对角线上，任意的两个白皇后都不在同一行、同一列或同一条对角线上

### 回答1：
这是一个经典的问题，也称为“八皇后问题”的扩展。我们可以使用回溯算法来解决这个问题。具体来说，我们可以从第一行开始，依次尝试在每一列放置一个黑皇后和一个白皇后，然后递归到下一行。在递归过程中，我们需要检查当前位置是否可以放置皇后，如果可以，就继续递归下一行；如果不行，就回溯到上一行，尝试在下一列放置皇后。

为了检查当前位置是否可以放置皇后，我们需要维护三个数组：列数组、对角线数组和反对角线数组。列数组表示每一列是否已经有皇后，对角线数组表示每一条从左上到右下的对角线是否已经有皇后，反对角线数组表示每一条从右上到左下的对角线是否已经有皇后。当我们要在第i行第j列放置皇后时，我们需要检查列数组、对角线数组和反对角线数组中第j个元素、第i+j个元素和第i-j+n-1个元素是否为，如果都是，就可以放置皇后。

当我们成功放置n个黑皇后和n个白皇后时，就找到了一组解。如果我们要找到所有解，就需要继续递归下去，直到放置完所有皇后。如果我们只需要找到一组解，就可以在找到第一组解后立即返回。

### 回答2：
题目要求在一个给定大小的棋盘上放置黑白各n个的皇后，并且要求黑皇后和白皇后互相不在同一行、同一列或同一条对角线上。我们可以采用回溯法来解决这个问题。

回溯法是一种深度优先搜索的方法，它将搜索策略建立在试错的基础上，每次在搜索到某一状态时，会尝试所有可能的情况，如果发现当前情况无法满足要求，则返回上一个状态重新搜索。具体的，我们可以使用一个二维数组来表示当前状态下棋盘中皇后的位置。

首先，我们需要确定如何判断黑皇后和白皇后是否在同一行、同一列或同一条对角线上。对于同一行和同一列的情况，我们可以在每一行和每一列分别放置一个皇后，并记录下已经占用的列和行。对于同一条对角线的情况，我们可以将棋盘上的每一条线（即包含至少一个棋子的横线、竖线和斜线）都看成一条链，然后使用链表数据结构来维护每条链中已经占用的位置。具体的，我们可以为每条链（根据位置确定）创建一个链表，每次放置新的皇后时，就将它加入对应链表中，并检查是否与已有的皇后冲突。

接下来，我们可以使用递归函数来进行搜索。具体的，我们可以从每一行开始，依次枚举每一列，并判断当前位置是否可以放置黑皇后或白皇后。如果可以放置皇后，则记录下当前状态，并尝试在下一行放置另一种颜色的皇后。如果所有皇后都放置完成，则表示已经找到一组符合要求的方案，输出并返回。如果当前状态无法放置皇后，则返回上一个状态。

具体的代码实现比较繁琐，这里不再赘述。总的来说，该问题可以通过回溯法来解决，难点在于如何判断皇后是否在同一条对角线上，以及如何确定搜索策略。

### 回答3：
这是一个经典的问题，叫做"N皇后问题"，只不过这里要求放置的皇后颜色不同。解决此问题的常见方法是采用回溯算法。

回溯算法的基本思路是从棋盘的第一行开始放置皇后，每次放置后判断是否符合要求，如果符合要求，就转到下一行继续放置。如果当前行的所有位置都不能放置皇后，那么就需要回溯到上一行，重新选择可行的位置放置皇后，直到找到合适的方案或者所有可能的方案都被尝试过。

对于这道题要特别注意，黑皇后和白皇后需要互相独立，可以分别采用回溯算法来放置。同时，对于不能放置皇后的位置，需要对算法进行一些修改，以避开这些位置。

具体而言，可以先建立一个n*n的棋盘数组，将初始值全部设为0，表示所有位置都可以放置皇后。然后将不能放置皇后的位置的值设置为-1，表示这些位置不可用。接着，从第一行开始逐行放置黑皇后，对于每一行，从左往右逐个检查是否可行，如果有可行的位置，则在该位置放置黑皇后，并修改该列和两条对角线上的值。这样，对于下一行放置白皇后时，只需要在值为0的位置上放置即可。

在实现过程中，还需要注意回溯的实现，即在每一次选择之后，都需要重新恢复之前状态的值。否则可能会出现重复计算的问题，导致算法效率降低。

总之，这是一道比较复杂的算法问题，需要耐心和认真地思考和实现。通过这道题的练习，可以加深对回溯算法和递归思想的理解和掌握。