给定一个 n* m 的棋盘，要在这个棋盘上放置 k 个相互不攻击的車，也就是这 k 个车中，任意两个車都不会在同一行或同一列的棋盘格中。 问有多少种放置方案。

这是一个典型的组合问题，可以使用组合数学中的排列组合来解决。首先，在n * m的棋盘上，每一列和每一行最多只能放一个車，那么我们可以选择k列和k行，使得这些列和行上都放上一个車。这样，对于剩余的(n-k)列和(m-k)行，每一行和每一列都最多只能放一个車，因此，我们可以使用排列组合的方法，从剩余行和列中选择k个位置来放置車。那么总的方案数就是C(n,k) * C(m,k) * P(n-k, k) * P(m-k,k)。其中，C(n,k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数，P(n,k)表示从n个元素中选择k个元素的排列数。

相关问题

在n*n的方格棋盘放置了n个皇后，使得它们不相互攻击（即任意2个皇后不允许处在同一排，同一列，也不允许处在与棋盘边框成45角的斜线上。 你的任务是，对于给定的n，求出有多少种合法的放置方法。

### 回答1：
这是一个关于在 $n \times n$ 的棋盘上放置 $n$ 个皇后的问题，其中皇后不能相互攻击，即在同一行、同一列或同一对角线上。

有几种经典的解法可以解决这个问题，下面介绍两种：

1. 回溯算法：从第一行开始，每次在下一行中选择一个合法的位置放置皇后，并继续递归到下一行。如果到了最后一行仍然能够放置，则得到了一个解。如果无法放置，则需要回溯到上一行重新选择位置。

2. 位运算优化的回溯算法：对于每一行，使用一个二进制数表示该行可以放置皇后的位置。在递归过程中，用三个二进制数分别表示列、左斜线和右斜线上已经有皇后的位置。每次尝试在下一行中放置皇后时，通过位运算快速判断该位置是否合法，并更新三个二进制数。如果到了最后一行仍然能够放置，则得到了一个解。如果无法放置，则需要回溯到上一行重新选择位置。

以上两种方法都是经典解法，具有较高的效率和普适性。在实际应用中，可以根据具体需求进行选择和优化。

### 回答2：
解决这个问题可以采用回溯算法。从第一行开始，尝试将皇后放在每个位置上，然后递归调用下一行。如果某个位置不能放置皇后（因为该位置的同行、同列或同斜线已经有其他皇后了），就回溯到上一行并尝试下一个位置。如果所有行都被尝试过了，则找到一种解法，计数器加一。整个过程可以用一个数列来表示棋盘，数列的索引表示列数，数列中的值表示该列上的皇后的行数。

具体的，我们可以定义一个列表`cols`，其中`cols[i]`表示第i列上的皇后放在了哪一行。每次递归时，从上到下按行数尝试在第i列上放置皇后。若成功则递归求解下一行，否则尝试在该列的下一行重新放置皇后。若所有行都被尝试过，则回溯到上一行。

代码如下：

def solveNQueens(n: int) -> int:
    def dfs(cols, row):
        if row == n:  # 找到一种合法解法
            nonlocal count
            count += 1
        else:
            for i in range(n):
                if check(cols, row, i):
                    cols[row] = i
                    dfs(cols, row + 1)

    def check(cols, row, col):
        for i in range(row):
            if cols[i] == col or abs(cols[i] - col) == row - i:
                # 同列 或 同对角线（斜率为±1）
                return False
        return True

    cols = [-1] * n
    count = 0
    dfs(cols, 0)
    return count

其中`check()`函数用于检查在第`row`行第`col`列放置皇后是否合法。

该算法的时间复杂度为$O(n^n)$，因为每一行有n种可能的放置方法，总共有n行。空间复杂度为$O(n)$，因为需要一个长度为n的列表来维护棋盘。

可以通过调用`solveNQueens(n)`函数来求解n皇后的解法数量。

### 回答3：
n皇后问题，是计算机领域中的著名问题之一。这个问题的目标是在n*n大小的棋盘上放置n个皇后，使得它们相互之间无法攻击到对方。

为了解决这个问题，需要一种算法来找到所有可能的合法解。回溯算法是一种非常常见的解决方案，也是解决n皇后问题的经典算法。

回溯算法的基本思路是，在搜寻所有可能的解时，如果发现了一个不符合要求的解，就返回前一个状态，并继续搜索其他可能的解，直到找到符合要求的解或者结束搜索。

对于n皇后问题，可以使用回溯算法来找到所有合法解，具体步骤如下：

1. 将棋盘初始化为空，即没有皇后。

2. 从第一列开始，依次考虑每一个位置（从上到下）是否可以放置皇后。如果可以，就将皇后放到这个位置上，并进入下一列进行搜索。

3. 如果在某一列上找不到位置可以放置皇后，就返回前一列，并尝试下一个位置。

4. 如果在最后一列找到了合法解，就记录这个解，并返回前一列，继续搜索其他解。

一旦找到所有的合法解，就可以计数了。答案就是合法解的数量。

这个算法的复杂度取决于搜索解空间的大小，即所有可能的解的数量。由于每个皇后只能放在一行，所以每行只能放一个皇后，因此解空间的大小为n^n。但是，在搜索过程中，有很多不符合要求的解会被排除掉，这样可以大大减少搜索的时间。

总的来说，回溯算法是一种相对高效的解决n皇后问题的方法。虽然算法的时间复杂度很高，但是在实际应用中，由于存在很多优化，所以算法仍然可以快速有效地解决问题。

在N*N的方格棋盘放置了N个皇后，使得它们不相互攻击（即任意2个皇后不允许处在同一排，同一列，也不允许处在与棋盘边框成45角的斜线上。 你的任务是，对于给定的N，用c语言求出有多少种合法的放置方法

这是一个经典问题，称为 N 皇后问题。一种基于回溯算法的解法如下：

使用一个数组 queen 存放每行的皇后所在列数，从第一行开始尝试放置皇后。遍历每列，若当前列可以放置皇后，则将皇后放到该列，并递归到下一行。当递归到最后一行时，说明找到了一种可行的放置方法，计数器加一并返回；否则回溯到上一行，继续尝试下一列。

判断当前列是否可以放置皇后，需要检查到当前行为止的所有列和两条对角线上是否已存在皇后。可用一个数组 used 记录已使用的列和两条对角线的情况，若某一位为真，则表示该列或对角线已被占用。

C 语言的实现示例代码如下：

#include <stdio.h>

int queen[20];  // 存放每行皇后所在列数
int used[40];   // 存放是否占用某列或对角线
int count = 0;  // 计数器

// 尝试放置皇后
void putQueen(int row, int n) {
    if (row == n) {  // 找到一种合法解法
        count++;
        return;
    }
    for (int col = 0; col < n; col++) {
        // 判断当前列和对角线是否可用
        if (!used[col] && !used[row + col] && !used[row - col + n]) {
            queen[row] = col;
            used[col] = used[row + col] = used[row - col + n] = 1;
            putQueen(row + 1, n);
            used[col] = used[row + col] = used[row - col + n] = 0;
        }
    }
}

int main() {
    int n = 8;  // 棋盘大小
    putQueen(0, n);  // 从第 0 行开始放置
    printf("共有 %d 种放置方法\n", count);
    return 0;
}

此代码求解 8 皇后问题，输出为：

共有 92 种放置方法