设矩阵Bk ∈ Rn×n对称正定。dk是子问题min qk(d) = 1 2 dT Bkd+▽f (xk)T d+ f (xk)的解，证明dk是函数f在xk处的下降方向

根据梯度下降法，我们需要在每一步选择一个下降方向d，使得f(x+αd)<f(x)，其中α是步长。因此，我们需要证明dk是下降方向。

根据子问题的定义，我们知道：

qk(d) = 1/2 dTBkd - ▽f(xk)Td

我们需要证明当d为dk时，qk(d) < 0。

根据矩阵Bk的对称正定性质，我们知道：

dTBkd > 0

因此，我们只需要证明：

▽f(xk)Td > 0

即可知道dk是下降方向。

我们可以将▽f(xk)Td表示为一个点积的形式：

▽f(xk)Td = ||▽f(xk)|| ||d|| cosθ

其中，θ是▽f(xk)和d之间的夹角。

由于d是子问题min qk(d)的解，因此满足：

Bkdk = -▽f(xk)

因此，我们可以将▽f(xk)表示为：

▽f(xk) = -Bkdk

将其代入到▽f(xk)Td的式子中，得到：

▽f(xk)Td = -dkTBkdk

由于Bk是对称正定矩阵，因此有Bk = BkT > 0，即Bk的所有特征值都大于0。因此，dkTBkdk > 0。

因此，我们有：

▽f(xk)Td > 0

即dk是下降方向。证毕。

相关问题

利用组合推理的方式证明Qn=Dn+Dn-1

我们可以使用数学归纳法来证明这个式子。

当 n=1 时，Q1=D1+D0=D1+1=2，结论成立。

假设当 n=k 时，Qk=Dk+Dk-1 成立。

当 n=k+1 时，我们有：

Qk+1=Dk+1+Dk

根据递推式 Dn=Dn-1+Dn-2，我们有：

Qk+1=Dk+1+Dk=Dk+Dk-1+Dk+1=Dk-1+Dk+Dk+Dk+1

再根据递推式 Dn=Dn-1+Dn-2，我们有：

Qk+1=Dk-1+Dk+Dk+Dk+1=Dk-1+Dk-2+2Dk+Dk+1

Qk+1=Dk-1+Dk-2+Dk+Dk+Dk+1

Qk+1=Qk+Dk+Dk-1

由归纳法假设，当 n=k 时，Qk=Dk+Dk-1 成立，因此：

Qk+1=Qk+Dk+Dk-1=(Dk+Dk-1)+Dk+(Dk-1+Dk-2)=(Dk+1)+(Dk-1+Dk)+(Dk-2+Dk-1)

Qk+1=Dk+1+Dk

因此，我们证明了当 n=k+1 时，Qn=Dn+Dn-1 成立。

因此，根据数学归纳法，对于所有的正整数 n，Qn=Dn+Dn-1 成立。

minS Tr(QTLQ) s.t.Q^TQ=I 其中L是拉普拉斯矩阵，为什么等价于minS i,j=1到n ||qi − qj ||2sij

这个问题涉及到矩阵分解和谱聚类的一些基本知识。

首先，拉普拉斯矩阵L是一个对称半正定矩阵，它的特征向量可以用来进行谱聚类。具体地，设L的特征向量为q1, q2, ..., qn，对应的特征值为λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λn，则可以将特征向量按照特征值从小到大排列，取前k个特征向量组成矩阵Q=[q1, q2, ..., qk]，然后对Q进行标准化，得到矩阵Z，即Z=Q(Diag(λ1, λ2, ..., λk))^(-1/2)，其中Diag(λ1, λ2, ..., λk)是一个对角矩阵，对角线上的元素是λ1, λ2, ..., λk。最后，对Z进行k-means聚类，即可得到谱聚类的结果。

接下来，我们考虑最小化目标函数Tr(QTLQ)的等价形式。根据矩阵的迹性质，有Tr(QTLQ) = ∑i,j Lij||qi - qj||^2。将Q的第i列记为qi，则可以将目标函数重写为∑i,j sij||qi - qj||^2，其中sij=0或1表示第i个样本和第j个样本是否相似。因此，最小化目标函数Tr(QTLQ)等价于最小化目标函数∑i,j sij||qi - qj||^2。

综上所述，最小化目标函数Tr(QTLQ)与最小化目标函数∑i,j sij||qi - qj||^2等价，都可以用来进行谱聚类。