mathematica中如何将一个第一类贝塞尔函数表示为两个已知的第一类贝塞尔函数的线性组合
时间: 2024-01-16 17:03:34 浏览: 25
设 $J_\nu(x)$ 是第一类贝塞尔函数。
假设我们要将 $J_\nu(x)$ 表示为 $J_{\nu_1}(x)$ 和 $J_{\nu_2}(x)$ 的线性组合,即找到系数 $a$ 和 $b$,使得:
$$J_\nu(x) = aJ_{\nu_1}(x) + bJ_{\nu_2}(x)$$
为了求解 $a$ 和 $b$,我们可以使用贝塞尔函数的渐进公式:
$$J_\nu(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$$
当 $x$ 很大时,上式的近似程度很高。因此我们可以令 $x$ 很大,然后比较两边的系数。
对于 $J_{\nu_1}(x)$ 和 $J_{\nu_2}(x)$,我们也可以使用渐进公式:
$$J_{\nu_1}(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left(x - \frac{\nu_1\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$$
$$J_{\nu_2}(x) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left(x - \frac{\nu_2\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$$
将这三个式子带入到 $J_\nu(x) = aJ_{\nu_1}(x) + bJ_{\nu_2}(x)$ 中,得到:
$$\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = a\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left(x - \frac{\nu_1\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) + b\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left(x - \frac{\nu_2\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$$
两边同时除以 $\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$,得到:
$$1 = a\frac{\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left(x - \frac{\nu_1\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}{\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)} + b\frac{\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left(x - \frac{\nu_2\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}{\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}$$
化简,得到:
$$1 = a\frac{\cos \left(x - \frac{\nu_1\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}{\cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)} + b\frac{\cos \left(x - \frac{\nu_2\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}{\cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}$$
移项,得到:
$$a\frac{\cos \left(x - \frac{\nu_1\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}{\cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)} = 1 - b\frac{\cos \left(x - \frac{\nu_2\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}{\cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}$$
再将 $\cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$ 移到等式左边,得到:
$$a\cos \left(x - \frac{\nu_1\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = \cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) - b\cos \left(x - \frac{\nu_2\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) \cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$$
因为 $\cos \left(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$ 不为零,所以可以将它约掉,得到:
$$a\cos \left(x - \frac{\nu_1\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 1 - b\cos \left(x - \frac{\nu_2\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$$
再将 $\cos \left(x - \frac{\nu_2\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)$ 移到等式左边,得到:
$$a\cos \left(x - \frac{\nu_1\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) + b\cos \left(x - \frac{\nu_2\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 1$$
这就是我们需要求解的线性方程组。可以通过解这个方程组来确定 $a$ 和 $b$ 的值。