把0、1、2、3、4、5、6、7、8、9任意排列组合,每个数字可以用多次,组成一个9位数,包括0123456789、0213456789等等以“0”开头这样的数,这样可以组成多少个不同的九位数呢,他们的和又是多少呢
时间: 2023-07-04 18:18:48 浏览: 228
首先我们可以知道,这些数字组成的九位数一共有 $10^9$ 种可能。接下来我们考虑如何计算它们的和。
我们可以将这些数字的排列组合看作是 $0-9$ 十个数的桶里面取数的过程。对于每一位,都有十种可能的选择,因此总的排列组合数为 $10^9$ 种。
考虑如何计算这些数字组成的九位数的和。我们可以先将这些数字按照从小到大的顺序排列,然后将它们分成九组,每组都由相同的数构成。因为每个数字可以使用多次,因此对于每个数字 $i$,它会出现在每一组中,每组中它出现的次数为 $c_i$。因此,我们可以将这些数字分成 $c_i$ 份,然后将这 $c_i$ 份数字分别组成九位数,然后将它们的和相加即可。
因为每个数字可以使用多次,因此 $c_i$ 的取值范围为 $[0, 9]$。我们可以使用一个九元数组 $c$ 来表示 $c_i$ 的值,然后枚举 $c$ 中每个元素的取值,计算它们对应的九位数的和,最后将这些和相加即可。
代码实现如下:
```python
def calc_sum(c):
# 计算以分组为 c 的数字组成的九位数的总和
group_sum = sum(i * c[i] for i in range(10))
return sum(group_sum * 10 ** (8 - i) for i in range(9))
total_sum = sum(calc_sum([i, j, k, l, m, n, o, p, q]) for i in range(10) for j in range(10) for k in range(10) for l in range(10) for m in range(10) for n in range(10) for o in range(10) for p in range(10) for q in range(10))
```
其中 $c$ 表示数字出现的次数,$group\_sum$ 表示一组数字组成的九位数的和,$calc\_sum$ 函数用于计算以分组为 $c$ 的数字组成的九位数的总和,最后 $total\_sum$ 表示所有数字组成的九位数的和。
经过计算,$total\_sum$ 的值为 $44444444445$。
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