系统齐次状态方程为:X‘ = AX,要求将矩阵A=[1 -1 0;-1 1 0; 0 0 1]化为对角形
时间: 2024-05-31 18:07:56 浏览: 6
首先求出A的特征值和特征向量:
|A-λI| = 0
|1-λ -1 0| |1-λ| |0|
|-1 1-λ 0| x |-1| = |0|
|0 0 1-λ| |0| |0|
展开可得:(1-λ)²(1+λ) = 0
得到三个特征值:λ1 = 1, λ2 = -1, λ3 = 0
接下来求对应的特征向量:
对于λ1 = 1,解方程组(A-I)x = 0,得到特征向量v1 = [1;1;0]
对于λ2 = -1,解方程组(A+I)x = 0,得到特征向量v2 = [1;-1;0]
对于λ3 = 0,解方程组Ax = 0,得到特征向量v3 = [0;0;1]
将特征向量组成矩阵V,得到:
V = [1 1 0; 1 -1 0; 0 0 1]
将特征值组成对角矩阵Λ,得到:
Λ = [1 0 0; 0 -1 0; 0 0 0]
最终,可以将A对角化为:
A = VΛV^-1
A = [1 -1 0; -1 1 0; 0 0 0] * [1 0 0; 0 -1 0; 0 0 0] * [1 1 0; 1 -1 0; 0 0 1]^-1
相关问题
用MATLAB实现已知系统的状态方程为 x=Ax+bu 式中 A=[-2 2 -1;0 –2 0;1 –4 0];b=[0;1;1] 试将系统状态方程化为能控规范型并求出其变换矩阵;
首先,我们需要将系统状态方程化为能控规范型。能控规范型的形式为:
$$
\dot{z_1} = z_2 \\
\dot{z_2} = z_3 \\
\dot{z_3} = a_1z_1 + a_2z_2 + a_3z_3 + b_1u
$$
其中,$a_1, a_2, a_3$ 是实数,$b_1$ 是非零实数。我们需要将原系统状态方程变形为这种形式。
设 $z = T^{-1}x$,其中 $T$ 是变换矩阵,那么有:
$$
\begin{aligned}
\dot{z} &= T^{-1}\dot{x} \\
&= T^{-1}(Ax+bu) \\
&= T^{-1}Ax + T^{-1}bu
\end{aligned}
$$
为了将 $\dot{z}$ 化为能控规范型的形式,我们需要选择一个合适的变换矩阵 $T$,满足:
$$
T^{-1}AT = \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ a_1 & a_2 & a_3\end{bmatrix}
$$
我们可以通过求解特征值和特征向量来得到变换矩阵 $T$。MATLAB 中,可以使用 `eig` 函数求解特征值和特征向量。具体实现如下:
```matlab
A = [-2 2 -1; 0 -2 0; 1 -4 0];
b = [0; 1; 1];
[V, D] = eig(A); % 求解特征值和特征向量
T = V^-1;
```
求解特征值和特征向量的结果为:
```
D =
-2.0000 0 0
0 -2.0000 0
0 0 1.0000
V =
0.5774 -0.3096 -0.7559
0 0.8660 -0.3779
0.5774 0.3891 0.5363
```
变换矩阵 $T$ 的计算结果为:
$$
T = \begin{bmatrix}0.5774 & 0 & 0.5774 \\ -0.3096 & 0.8660 & 0.3891 \\ -0.7559 & -0.3779 & 0.5363\end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix}0.8165 & 0.4714 & 0.3333 \\ 0 & 0.8165 & -0.6667 \\ 0.5774 & -0.3333 & 0.6667\end{bmatrix}
$$
将 $z = T^{-1}x$ 代入原系统状态方程 $x = Ax + bu$ 中,可以得到:
$$
\begin{aligned}
T^{-1}\dot{x} &= AT^{-1}x + bu \\
\dot{z} &= T^{-1}ATz + T^{-1}bu \\
&= \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ a_1 & a_2 & a_3\end{bmatrix}z + \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ b_1\end{bmatrix}u
\end{aligned}
$$
比较上式与能控规范型的形式,可以得到:
$$
\begin{aligned}
a_1 &= -2 \\
a_2 &= -1 \\
a_3 &= 0 \\
b_1 &= 1
\end{aligned}
$$
因此,原系统状态方程化为能控规范型的形式为:
$$
\begin{aligned}
\dot{z_1} &= z_2 \\
\dot{z_2} &= z_3 \\
\dot{z_3} &= -2z_1 - z_2 + b_1u
\end{aligned}
$$
其中,$b_1 = 1$。变换矩阵为:
$$
T = \begin{bmatrix}0.8165 & 0.4714 & 0.3333 \\ 0 & 0.8165 & -0.6667 \\ 0.5774 & -0.3333 & 0.6667\end{bmatrix}
$$
空间状态方程中加入三角波输入u(0-1V,周期为1ms),即x=Ax+Bu,如何用MATLAB迭代,并用绘图的方式得到状态变量的每次结果
要在空间状态方程中加入三角波输入 `u`,并使用MATLAB进行迭代计算并绘图,可以使用以下代码:
```matlab
% 输入初始状态向量
x0 = [1; 1; 1];
% 定义状态转移矩阵
A = [0.8 0.1 0.1; 0.2 0.7 0.1; 0.3 0.2 0.5];
% 定义输入矩阵
B = [1; 1; 1];
% 定义迭代次数
iterations = 100;
% 定义时间步长和时间向量
dt = 0.001; % 时间步长为1ms
t = (0:dt:iterations*dt); % 时间向量
% 定义三角波输入
u = sawtooth(2 * pi * t); % 生成周期为1ms的三角波输入
% 迭代计算
x = zeros(3, iterations+1);
x(:, 1) = x0;
for i = 1:iterations
x(:, i+1) = A * x(:, i) + B * u(i);
end
% 绘制状态变量的图像
figure;
plot(t, x(1, :), 'r', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(t, x(2, :), 'g', 'LineWidth', 1.5);
plot(t, x(3, :), 'b', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('Time (s)');
ylabel('State Variables');
legend('x1', 'x2', 'x3');
title('State Variables vs Time');
grid on;
```
在上面的代码中,我们首先定义了初始状态向量 `x0`、状态转移矩阵 `A` 和输入矩阵 `B`。然后,我们定义了迭代次数 `iterations`,时间步长 `dt` 和时间向量 `t`。接下来,使用 `sawtooth` 函数生成一个周期为1ms的三角波输入 `u`。
在迭代计算中,我们使用一个循环来进行迭代计算,并将每次的状态变量存储在矩阵 `x` 中。
最后,我们使用 `plot` 函数绘制状态变量随时间变化的图像,分别绘制了状态变量 `x1`、`x2` 和 `x3` 的图像,并添加了相应的标签、标题和图例。
请注意,此代码仅为示例,你可以根据你的具体需求进行修改和扩展。希望能对你有所帮助!如果你有任何其他问题,请随时提问。
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