已知y=1+1/3+1/5+…+1/2n-1: 求y<3时的最大n值以及最大n值对应的y值(y值保留小数点后2位)。(认真审题)

时间: 2023-11-20 07:05:04 浏览: 276
根据题意,我们可以列出不等式: 1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2n-1) < 3 将不等式中的等号改为小于号,然后对不等式两边同时乘以 (2n-1) ,得到: (2n-1) + (2n-1)/3 + (2n-1)/5 + ... + 1 < 3(2n-1) 化简得: 1/3(2n-1) + 1/5(2n-1) + ... + 1/(2n-1) < 2 由于当 n 越来越大时,不等式左边的和会趋近于无穷大,因此可以逐个尝试 n 值,直到不等式左边的和小于 2。 当 n=2 时,左边的和为 5/3,小于 2。 当 n=3 时,左边的和为 11/5,大于 2。 因此,当 n=2 时,y<3且最大,此时 y=1+1/3+1/5=1.53(保留2位小数)。 因此,最大n值为2,最大n值对应的y值为1.53。
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已知y=1+1/3+1/5+…+1/2n-1: 求y<3时的最大n值以及最大n值对应的y值(y值保留小数点后2位)

我们可以先将y进行化简: y = 1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2n-1) 将分母中的奇数项提出来,可以得到: y = 1 + (1/3 + 1/5) + (1/7 + 1/9) + ... + (1/(2n-3) + 1/(2n-1)) 对于每一对括号中的分数,我们可以使用以下不等式进行估计: 1/(2k-1) + 1/(2k+1) > 2/(2k+1) = 2/(2(k+1)-1) 因此,我们可以将每一对括号中的分数进行合并: y < 1 + 2/3 + 2/5 + ... + 2/(2n-1) 化简后可以得到: y < 1 + 2 * (1/3 + 1/5 + ... + 1/(2n-1)) 接下来,我们可以使用以下不等式进行估计: 1/2k-1 > 1/(2k-1) - 1/(2k) 因此,我们可以将每一项中的分数进行合并: y < 1 + 2 * (1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + ... + 1/(2n) - 1/(2n-1)) 化简后可以得到: y < 1 + 2 * (1/2 - 1/(2n)) 我们要求y<3时的最大n值,因此将上式中的y代入得: 1 + 2 * (1/2 - 1/(2n)) < 3 化简后可以得到: 1/n < 2/5 因此,最大的n值为5,此时的y值为: y = 1 + 2 * (1/2 - 1/(2n)) = 1 + 2 * (1/2 - 1/10) = 1.8 因此,y<3时的最大n值为5,最大n值对应的y值为1.8。

已知y=1+1/3+1/5+...+1/2n-1,求y<3时的最大n值及最大n值的y值

首先,我们可以利用数学归纳法证明下面的结论: 当n≥2时,有 1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2n-1) > ln(2n) 基础步骤:当n=2时,有 1 + 1/3 = 4/3 > ln(4) = 1.386。 归纳步骤:假设当n=k时结论成立,即 1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2k-1) > ln(2k)。 当n=k+1时,有: 1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2k-1) + 1/(2k+1) > ln(2k) + 1/(2k+1) (根据归纳假设) > ln(2k) + 1/(2k) - 1/(2k) + 1/(2k+1) > ln(2k) + ln(2k+1)/(2k) - 1/(2k) = ln(2k(2k+1))/(2k) - 1/(2k) = ln(2(k+1)) - ln(2k) - 1/(2k) + 1/(2(k+1)) 由于当k≥1时,1/(2k) > 1/(2(k+1)),因此有: ln(2(k+1)) - ln(2k) - 1/(2k) + 1/(2(k+1)) > ln(2(k+1)) - ln(2k) 因此,当n=k+1时结论也成立。根据数学归纳法,结论对于所有n≥2成立。 接下来,要求出y<3时的最大n值及最大n值的y值,我们可以先计算出当n=13时,y的值: y = 1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/25 根据上面的结论,有: y > ln(26) ≈ 3.258 因此,当n≥14时,y的值必定大于3,不满足y<3的条件。 当n=13时,y的值已经大于3.因此,最大的n值为12,最大的y值为: y = 1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/23 ≈ 2.928

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