已知y=1+1/3+1/5+…+1/2n-1:求y<3时的最大n值以及最大n值对应的y值(y值保留小数点后2位)。
时间: 2024-05-20 18:12:54 浏览: 23
首先可以求出 $y$ 的前几项,得到:
$$
y_1=1,\quad y_2=1+\frac{1}{3}=1\frac{1}{3},\quad y_3=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=1\frac{4}{15},\quad y_4=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}=1\frac{47}{315},\quad y_5=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}=1\frac{157}{2835},\quad \cdots
$$
观察上面的数列,可以发现 $y$ 的每一项都是一个分数,且分母是奇数。因此,我们可以考虑将每一项写成通分数的形式,即:
$$
y_n=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2n-1}=\frac{2n-1}{2n-1}+\frac{2n-3}{3(2n-1)}+\frac{2n-5}{5(2n-1)}+\cdots+\frac{1}{(n-1)(2n-1)}=\frac{a_n}{b_n}
$$
其中 $a_n$ 表示通分后的分子,$b_n$ 表示通分后的分母。接下来,我们考虑如何找到满足 $y<3$ 的最大 $n$ 值。
当 $n=1$ 时,$y_1=1<3$,满足条件。当 $n=2$ 时,$y_2=1\frac{1}{3}<3$,也满足条件。当 $n=3$ 时,$y_3=1\frac{4}{15}<3$,依然满足条件。当 $n=4$ 时,$y_4=1\frac{47}{315}<3$,仍然满足条件。当 $n=5$ 时,$y_5=1\frac{157}{2835}<3$,同样满足条件。但当 $n=6$ 时,$y_6=1\frac{863}{155925}>3$,不满足条件。因此,满足条件的最大 $n$ 值为 $5$,对应的 $y$ 值为 $1\frac{157}{2835}\approx 1.055$(保留小数点后 $2$ 位)。
综上所述,满足 $y<3$ 的最大 $n$ 值为 $5$,对应的 $y$ 值为 $1.06$。
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