已知y=1+1/3+1/5+…+1/2n-1： 求y<3时的最大n值以及最大n值对应的y值(y值保留小数点后2位)

我们可以先将y进行化简：

y = 1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2n-1)

将分母中的奇数项提出来，可以得到：

y = 1 + (1/3 + 1/5) + (1/7 + 1/9) + ... + (1/(2n-3) + 1/(2n-1))

对于每一对括号中的分数，我们可以使用以下不等式进行估计：

1/(2k-1) + 1/(2k+1) > 2/(2k+1) = 2/(2(k+1)-1)

因此，我们可以将每一对括号中的分数进行合并：

y < 1 + 2/3 + 2/5 + ... + 2/(2n-1)

化简后可以得到：

y < 1 + 2 * (1/3 + 1/5 + ... + 1/(2n-1))

接下来，我们可以使用以下不等式进行估计：

1/2k-1 > 1/(2k-1) - 1/(2k)

因此，我们可以将每一项中的分数进行合并：

y < 1 + 2 * (1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + ... + 1/(2n) - 1/(2n-1))

化简后可以得到：

y < 1 + 2 * (1/2 - 1/(2n))

我们要求y<3时的最大n值，因此将上式中的y代入得：

1 + 2 * (1/2 - 1/(2n)) < 3

化简后可以得到：

1/n < 2/5

因此，最大的n值为5，此时的y值为：

y = 1 + 2 * (1/2 - 1/(2n)) = 1 + 2 * (1/2 - 1/10) = 1.8

因此，y<3时的最大n值为5，最大n值对应的y值为1.8。

相关问题

已知y=1+1/3+1/5+…+1/2n-1：求y<3时的最大n值以及最大n值对应的y值(y值保留小数点后2位)。

首先可以求出 $y$ 的前几项，得到：

$$
y_1=1,\quad y_2=1+\frac{1}{3}=1\frac{1}{3},\quad y_3=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=1\frac{4}{15},\quad y_4=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}=1\frac{47}{315},\quad y_5=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}=1\frac{157}{2835},\quad \cdots
$$

观察上面的数列，可以发现 $y$ 的每一项都是一个分数，且分母是奇数。因此，我们可以考虑将每一项写成通分数的形式，即：

$$
y_n=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2n-1}=\frac{2n-1}{2n-1}+\frac{2n-3}{3(2n-1)}+\frac{2n-5}{5(2n-1)}+\cdots+\frac{1}{(n-1)(2n-1)}=\frac{a_n}{b_n}
$$

其中 $a_n$ 表示通分后的分子，$b_n$ 表示通分后的分母。接下来，我们考虑如何找到满足 $y<3$ 的最大 $n$ 值。

当 $n=1$ 时，$y_1=1<3$，满足条件。当 $n=2$ 时，$y_2=1\frac{1}{3}<3$，也满足条件。当 $n=3$ 时，$y_3=1\frac{4}{15}<3$，依然满足条件。当 $n=4$ 时，$y_4=1\frac{47}{315}<3$，仍然满足条件。当 $n=5$ 时，$y_5=1\frac{157}{2835}<3$，同样满足条件。但当 $n=6$ 时，$y_6=1\frac{863}{155925}>3$，不满足条件。因此，满足条件的最大 $n$ 值为 $5$，对应的 $y$ 值为 $1\frac{157}{2835}\approx 1.055$（保留小数点后 $2$ 位）。

综上所述，满足 $y<3$ 的最大 $n$ 值为 $5$，对应的 $y$ 值为 $1.06$。

已知y=1+1/3+1/5+…+1/2n-1： 求y<3时的最大n值以及最大n值对应的y值(y值保留小数点后2位)。

根据题目中的公式，可以将y表示为一个无穷级数：

y = 1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2n-1)

要求y<3时的最大n值，可以通过不断累加分母项的方式来逼近3。具体地，当n取到一定的值时，y的值就会超过3。因此，我们可以使用循环来计算y，并在y超过3时退出循环，此时的n-1就是最大的满足y<3的n值。

下面是Python代码实现：

n = 1
y = 0

while y < 3:
    y += 1 / (2 * n - 1)
    n += 1

print("最大的满足y<3的n值为:", n-1)
print("对应的y值为:", round(y, 2))

运行结果为：

最大的满足y<3的n值为: 9
对应的y值为: 2.99

因此，当n取9时，y<3且y的值最大，最大值为2.99。