一维非稳态导热方程matlab

一维非稳态导热方程可以表示为：

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

其中，$u(x,t)$表示温度分布，$\alpha$为热扩散系数。

使用差分方法可以将其离散化，得到：

$$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t}=\alpha\frac{u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n}{\Delta x^2}$$

其中，$u_i^n$表示在时间$n\Delta t$、位置$i\Delta x$处的温度，$\Delta t$和$\Delta x$分别为时间和空间上的步长。

整理得到：

$$u_i^{n+1}=u_i^n+\frac{\alpha\Delta t}{\Delta x^2}(u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n)$$

根据初始条件和边界条件，可以确定初始时刻的温度分布$u_i^0$和边界条件$u_0^n$、$u_{N}^n$。

在Matlab中，可以使用循环计算每个时间步长的温度分布。下面是一个简单的示例代码：

% 定义参数
L = 1; % 区间长度
T = 1; % 总时间
Nx = 100; % 空间离散化步数
Nt = 1000; % 时间离散化步数
dx = L / Nx; % 空间步长
dt = T / Nt; % 时间步长
alpha = 1; % 热扩散系数

% 初始化温度分布
u = zeros(Nx+1, Nt+1);
u(:,1) = sin(pi*(0:Nx)/Nx);

% 计算温度分布
for n = 1:Nt
    for i = 2:Nx
        u(i,n+1) = u(i,n) + alpha*dt/dx^2*(u(i+1,n)-2*u(i,n)+u(i-1,n));
    end
end

% 绘制温度分布图像
[X, T] = meshgrid(0:dx:L, 0:dt:T);
surf(X, T, u')
xlabel('x')
ylabel('t')
zlabel('u')

该代码使用简单的差分方法计算非稳态导热方程，初始温度分布为正弦函数，边界条件为$u(0,t)=u(1,t)=0$。运行后可以得到温度分布随时间变化的图像。