函数$f(x)=x_1^2+2x_2^2+\Vert x \Vert_1$的次梯度是

在 $x \neq 0$ 的点处，$f(x)$ 的次梯度为：

$\partial f(x) = \begin{cases} 2x_1 x_2^2 \operatorname{sign}(x_1) 2\Vert x \Vert_1 + x_1^2 4x_2 \operatorname{sign}(x_2) \\ 0, &\text{if }x=0 \end{cases}$

其中 $\operatorname{sign}(x)$ 是符号函数，$\operatorname{sign}(x)=1$ 当 $x>0$，$\operatorname{sign}(x)=-1$ 当 $x<0$，$\operatorname{sign}(0)=0$。

相关问题

$Vert x \Vert_1$对$x_1$的求导

我们有：

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial x_1} \Vert x \Vert_1 &= \frac{\partial}{\partial x_1} \left( |x_1| + |x_2| + \cdots + |x_n| \right) \\
&= \text{sign}(x_1) \cdot \frac{\partial |x_1|}{\partial x_1} + 0 + \cdots + 0 \\
&= \text{sign}(x_1),
\end{aligned}
$$

其中 $\text{sign}(x_1)$ 是 $x_1$ 的符号函数：

$$
\text{sign}(x_1) =
\begin{cases}
-1, & x_1 < 0 \\
0, & x_1 = 0 \\
1, & x_1 > 0
\end{cases}
$$

因此，$\frac{\partial}{\partial x_1} \Vert x \Vert_1$ 在 $x_1$ 处的导数为 $\text{sign}(x_1)$。

matlab中lcon2vert函数的原理是什么

lcon2vert是MATLAB中的一个函数，用于将线性限制条件转换为顶点表示的凸包。其原理基于线性规划和凸包理论。

具体而言，给定一个线性不等式组Ax ≤ b，其中A是m×n的矩阵，b是m×1的列向量，lcon2vert函数会将其转换为一个顶点表示的凸包，即一个点集P，满足P是凸集，且对于任意的x∈{Ax ≤ b}，都存在一个P中的点p，使得x = Ap。

该函数的实现过程如下：

1. 将Ax ≤ b转化为标准形式Ax + s = b，其中s是一个非负的m×1的列向量。

2. 求解线性规划问题min s，s.t. Ax + s = b，得到最优解s*。

3. 根据基本凸包定理，将基向量与矩阵A的非基列向量组成的矩阵称为B，矩阵A中对应的列向量组成的矩阵称为N。则满足Ax = b的解可以表示为x = B^-1(b - Nv)，其中v是一个n-m维的自由向量。

4. 利用凸包算法，求解点集P = {B^-1b, B^-1(Ai)}，其中Ai是矩阵A的第i列。

5. 剔除位于凸包边界上的冗余点，得到最终的顶点表示的凸包。

因此，lcon2vert函数可以将线性限制条件转换为顶点表示的凸包，从而方便地进行后续的计算和分析。