使用R语言编写共轭梯度法，输出每次迭代函数值和梯度范数值

共轭梯度法是一种优化算法，用于求解无约束优化问题。下面是使用R语言编写的共轭梯度法，输出每次迭代函数值和梯度范数值的代码：

# 定义目标函数
f <- function(x) {
  return(x[1]^2 + 2*x[2]^2 - 2*x[1]*x[2] - 4*x[1] - 2*x[2] + 8)
}

# 定义梯度函数
grad_f <- function(x) {
  return(c(2*x[1] - 2*x[2] - 4, 4*x[2] - 2*x[1] - 2))
}

# 定义共轭梯度法
conjugate_gradient <- function(f, grad_f, x0, max_iter=100, tol=1e-6) {
  # 初始化
  x <- x0
  d <- -grad_f(x)
  g_norm <- sqrt(sum(grad_f(x)^2))
  f_values <- c(f(x))
  g_norms <- c(g_norm)
  
  # 迭代
  for (i in 1:max_iter) {
    # 计算步长
    alpha <- optimize(function(alpha) { f(x + alpha*d) }, interval=c(0, 10))$minimum
    
    # 更新x
    x <- x + alpha*d
    
    # 计算新的梯度
    g <- grad_f(x)
    
    # 如果梯度足够小，则停止迭代
    g_norm <- sqrt(sum(g^2))
    if (g_norm < tol) {
      break
    }
    
    # 计算beta
    beta <- sum(g^2) / sum(grad_f(x - d)^2)
    
    # 更新方向
    d <- -g + beta*d
    
    # 记录函数值和梯度范数值
    f_values <- c(f_values, f(x))
    g_norms <- c(g_norms, g_norm)
  }
  
  # 返回结果
  return(list(x=x, f_values=f_values, g_norms=g_norms))
}

# 运行共轭梯度法
result <- conjugate_gradient(f, grad_f, c(0, 0))

# 输出结果
cat("x:", result$x, "\n")
cat("f_values:", result$f_values, "\n")
cat("g_norms:", result$g_norms, "\n")

在上面的代码中，我们定义了目标函数`f`和梯度函数`grad_f`，然后使用共轭梯度法求解最小值。在迭代过程中，我们记录了每次迭代的函数值和梯度范数值，并将它们存储在`f_values`和`g_norms`中。最终，我们输出了最终的解`x`、函数值序列`f_values`和梯度范数序列`g_norms`。