使用R语言编写共轭梯度法法，要求不使用norm()函数，输出每次迭代函数值和梯度范数值

共轭梯度法是一种高效的优化算法，用于求解线性方程组和最小二乘问题。它是迭代法的一种，每次迭代都会更新一个共轭方向，以加速收敛。下面是使用R语言编写共轭梯度法的示例代码：

# 定义共轭梯度法函数
cg <- function(A, b, x0, max_iter=100, tol=1e-6) {
  # A: 系数矩阵
  # b: 右侧向量
  # x0: 初始解向量
  # max_iter: 最大迭代次数
  # tol: 收敛阈值（梯度范数的最小值）
  
  # 初始化
  x <- x0
  r <- b - A %*% x
  p <- r
  rsold <- t(r) %*% r
  
  # 迭代
  for (i in 1:max_iter) {
    Ap <- A %*% p
    alpha <- rsold / (t(p) %*% Ap)
    x <- x + alpha * p
    r <- r - alpha * Ap
    rsnew <- t(r) %*% r
    if (sqrt(rsnew) < tol) {
      break
    }
    p <- r + (rsnew / rsold) * p
    rsold <- rsnew
    
    # 输出每次迭代函数值和梯度范数值
    fx <- t(x) %*% A %*% x - t(b) %*% x
    gx <- sqrt(t(r) %*% r)
    cat(sprintf("iter=%d, f(x)=%.6f, g(x)=%.6f\n", i, fx, gx))
  }
  
  # 返回解向量
  return(x)
}

# 测试
A <- matrix(c(4, 1, 1, 3), nrow=2)
b <- c(1, 2)
x0 <- c(0, 0)
cg(A, b, x0)

在上面的代码中，我们定义了一个名为`cg`的函数，它接受一个系数矩阵`A`、一个右侧向量`b`、一个初始解向量`x0`，以及一些可选参数（最大迭代次数和收敛阈值）。然后，在函数内部，我们使用共轭梯度法迭代求解线性方程组，并输出每次迭代的函数值和梯度范数值。

最后，我们使用一个简单的测试例子来测试我们的代码。我们定义了一个2x2的系数矩阵`A`和一个长度为2的右侧向量`b`，并将初始解向量`x0`设为0。然后，我们调用`cg`函数来求解线性方程组，并输出最终的解向量。