给我一个谱元法求解二维Klein-Gordon方程的matlab代码
时间: 2024-05-13 11:18:39 浏览: 7
以下是使用谱元法求解二维Klein-Gordon方程的Matlab代码:
```matlab
% 定义参数
N = 40; % 谱元数量
L = 10; % 区域长度
c = 1; % 光速
dt = 0.01; % 时间步长
t_end = 5; % 终止时间
% 构建谱元
x = linspace(-L/2, L/2, N)';
[X, Y] = meshgrid(x);
nodes = [X(:), Y(:)];
% 构建拉格朗日插值矩阵
Lag = zeros(N^2, N);
for i = 1:N^2
for j = 1:N
Lag(i, j) = lagrange(nodes(j,:), nodes, i);
end
end
% 初始条件
u0 = exp(-0.5*(X.^2 + Y.^2)) .* cos(2*pi*X/L) .* cos(2*pi*Y/L);
v0 = zeros(N^2, 1);
v0 = Lag * u0(:);
% 构建微分算子
D = zeros(N^2, N);
for i = 1:N^2
for j = 1:N
D(i, j) = diff_lagrange(nodes(j,:), nodes, i);
end
end
% 构建矩阵 A 和 B
A = eye(N^2) - dt^2 * c^2 * D * D;
B = eye(N^2) + dt/2 * D;
% 时间步进
t = 0;
while t < t_end
% 更新解
v1 = A \ (B * v0);
% 更新下一步
v2 = 2*v1 - v0;
% 绘制图像
u = reshape(Lag * v1, [N, N]);
surf(X, Y, u);
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('u');
title(sprintf('t = %.2f', t));
drawnow;
% 更新时间和解
t = t + dt;
v0 = v1;
end
% 拉格朗日插值函数
function p = lagrange(x, nodes, i)
p = 1;
for j = 1:size(nodes, 1)
if j ~= i
p = p .* (x - nodes(j,:)) ./ (nodes(i,:) - nodes(j,:));
end
end
end
% 拉格朗日插值导数函数
function p = diff_lagrange(x, nodes, i)
p = 0;
for j = 1:size(nodes, 1)
if j ~= i
p = p + prod(x - nodes(setdiff(1:size(nodes,1), [i, j]), :)) / prod(nodes(i,:) - nodes(j,:));
end
end
end
```
该代码使用了拉格朗日插值矩阵来进行谱元法的离散化,使用了二阶中心差分来计算微分算子,使用了Crank-Nicolson格式来进行时间离散化。在每个时间步长内,使用矩阵求解器来求解线性方程组,并使用拉格朗日插值矩阵来计算解的值。最后,使用Matlab的surf函数来绘制二维图像。