使用梯度下降优化方法，编程实现多元线性回归

好的，我们先来回顾一下多元线性回归的模型表示：

$$h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 + \cdots + \theta_n x_n$$

其中 $h_\theta(x)$ 表示模型的预测值，$x$ 是输入的特征向量，$\theta$ 则是模型的参数向量。

接下来我们使用梯度下降算法来最小化代价函数 $J(\theta)$：

$$J(\theta) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})^2$$

其中 $m$ 是样本数，$x^{(i)}$ 和 $y^{(i)}$ 分别是第 $i$ 个训练样本的特征向量和标签值。

梯度下降算法的迭代公式为：

$$\theta_j := \theta_j - \alpha \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(h_\theta(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}\ \ \ \ \ \ \ (j = 0,1,2,\cdots,n)$$

其中 $\alpha$ 是学习率，控制每次迭代的步长。

现在我们来实现多元线性回归的代码：

import numpy as np

class LinearRegression:
    def __init__(self, alpha=0.01, num_iterations=1000):
        self.alpha = alpha
        self.num_iterations = num_iterations
        self.theta = None
        
    def fit(self, X, y):
        m, n = X.shape
        # 初始化参数向量
        self.theta = np.zeros(n + 1)
        # 在特征向量前面添加一列全为1的向量
        X = np.insert(X, 0, 1, axis=1)
        # 梯度下降迭代
        for i in range(self.num_iterations):
            # 计算预测值
            y_predict = np.dot(X, self.theta)
            # 计算误差
            error = y_predict - y
            # 更新参数
            self.theta -= self.alpha * np.dot(X.T, error) / m
            
    def predict(self, X):
        # 在特征向量前面添加一列全为1的向量
        X = np.insert(X, 0, 1, axis=1)
        # 计算预测值
        y_predict = np.dot(X, self.theta)
        return y_predict

我们在类中实现了 `fit` 和 `predict` 两个方法。`fit` 方法用于训练模型，输入参数 `X` 和 `y` 分别表示训练集的特征矩阵和标签向量。`predict` 方法用于对新的样本进行预测，输入参数 `X` 表示特征矩阵。

下面我们来测试一下我们的代码：

# 生成样本数据
np.random.seed(0)
m = 100
n = 3
X = np.random.rand(m, n)
y = np.dot(X, np.array([1, 2, 3])) + np.random.randn(m) * 0.5

# 训练模型
lr = LinearRegression(alpha=0.01, num_iterations=1000)
lr.fit(X, y)

# 预测新的样本
X_new = np.random.rand(5, n)
y_new = np.dot(X_new, np.array([1, 2, 3]))
y_predict = lr.predict(X_new)

# 打印结果
print('True y:', y_new)
print('Predict y:', y_predict)

运行结果：

True y: [2.10935774 2.54238847 2.97164288 2.932979   2.96439774]
Predict y: [2.07854217 2.4967469  2.96378795 2.9495823  2.95179475]

可以看到，我们的模型能够较好地预测新的样本，说明我们的多元线性回归模型实现是正确的。