透视投影变换矩阵推导过程

透视投影变换矩阵的推导过程如下：

假设有一个三维点 $(X,Y,Z)$，它在相机坐标系中的坐标为 $(X_c,Y_c,Z_c)$。相机坐标系的原点为相机位置，$Z_c$ 轴指向相机朝向的反方向，$X_c$ 和 $Y_c$ 轴分别与相机的右方向和下方向对齐。

为了把相机坐标系中的点映射到图像平面上，我们需要进行透视投影变换。首先，我们将相机坐标系中的点转换为齐次坐标 $(X_c,Y_c,Z_c,1)$。然后，我们将它乘以一个投影矩阵 $P$，得到一个新的齐次坐标 $(u,v,w,1)$：

$$
\begin{bmatrix}
u \\
v \\
w \\
1 \\
\end{bmatrix}
= P \cdot
\begin{bmatrix}
X_c \\
Y_c \\
Z_c \\
1 \\
\end{bmatrix}
$$

其中，$u$ 和 $v$ 分别表示图像平面上的坐标，$w$ 用来进行透视除法，保证 $u$ 和 $v$ 的值在图像平面上。

投影矩阵 $P$ 可以分解为相机内参矩阵 $K$ 和相机外参矩阵 $[R|t]$ 的乘积：

$$
P = K [R|t]
$$

其中，$K$ 是一个 $3 \times 3$ 的矩阵，包含了相机的内部参数，如焦距、主点等。$[R|t]$ 是一个 $3 \times 4$ 的矩阵，包含了相机的外部参数，如相机的旋转和平移。

为了推导 $P$ 的具体形式，我们可以先考虑一个简单的情况：相机坐标系的原点与图像平面重合，且相机的朝向与图像平面平行。这种情况下，投影矩阵可以表示为：

$$
P = \begin{bmatrix}
f & 0 & 0 & 0 \\
0 & f & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
$$

其中，$f$ 是焦距，表示相机到图像平面的距离。

当相机坐标系的原点和图像平面不重合时，我们可以使用相机外参矩阵 $[R|t]$ 来把相机坐标系的原点变换到图像平面上。具体来说，我们可以将相机坐标系的原点变换为 $(X_c',Y_c',Z_c')$，其中 $(X_c',Y_c',0)$ 是图像平面上的点。这个变换可以表示为：

$$
\begin{bmatrix}
X_c' \\
Y_c' \\
Z_c' \\
1 \\
\end{bmatrix}
= [R|t] \cdot
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
\end{bmatrix}
$$

然后，我们可以把 $(X,Y,Z)$ 变换为 $(X',Y',Z')$，其中 $(X',Y')$ 是图像平面上的坐标。这个变换可以表示为：

$$
\begin{bmatrix}
X' \\
Y' \\
Z' \\
1 \\
\end{bmatrix}
= [R|t] \cdot
\begin{bmatrix}
X \\
Y \\
Z \\
1 \\
\end{bmatrix}
$$

最后，我们可以将 $(X',Y',Z')$ 投影到图像平面上，得到一个新的齐次坐标 $(u,v,w,1)$。这个投影可以表示为：

$$
\begin{bmatrix}
u \\
v \\
w \\
1 \\
\end{bmatrix}
= K \cdot
\begin{bmatrix}
X'/Z' \\
Y'/Z' \\
1 \\
\end{bmatrix}
$$

将以上三个变换组合起来，我们可以得到透视投影变换矩阵的形式：

$$
P = K [R|t] =
\begin{bmatrix}
f_x & 0 & c_x & 0 \\
0 & f_y & c_y & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
r_{11} & r_{12} & r_{13} & t_1 \\
r_{21} & r_{22} & r_{23} & t_2 \\
r_{31} & r_{32} & r_{33} & t_3 \\
\end{bmatrix}
$$

其中，$f_x$ 和 $f_y$ 是 $K$ 矩阵的对角线元素，分别表示 $x$ 和 $y$ 方向上的焦距；$c_x$ 和 $c_y$ 是 $K$ 矩阵的中心点，表示图像平面上的主点；$r_{ij}$ 和 $t_i$ 是 $[R|t]$ 矩阵的元素，表示相机的旋转和平移。