层次分析法的具体步骤并在里面写上具体公式
时间: 2024-03-30 21:38:45 浏览: 43
层次分析法的具体步骤如下:
1. 确定目标
明确决策问题的目标,确定需要比较的准则和方案。将目标、准则和方案按照层次结构的方式组织起来,形成决策层次结构模型。
2. 构建判断矩阵
对于每一对因素,构建一个判断矩阵,其中元素 $a_{ij}$ 表示因素 $i$ 相对于因素 $j$ 的重要程度,即 $i$ 比 $j$ 更重要的程度。判断矩阵必须是一个正互反矩阵,即 $a_{ij} > 0$,$a_{ji} = 1/a_{ij}$。
3. 计算权重向量
对于每一个层次,通过计算其判断矩阵的特征向量,得到该层次的权重向量。特征向量是指一个 $n$ 维向量,其与判断矩阵的乘积等于该向量的常数倍,该常数即为特征值。具体计算公式如下:
$$
\begin{aligned}
&\text{设判断矩阵为 }A=(a_{ij})_{n\times n}\\
&\text{求特征向量 }w=(w_1,w_2,\cdots,w_n)^T\\
&\text{满足 }Aw=\lambda w,\text{其中 }\lambda \text{ 是特征值}\\
&\text{则 }\lambda \text{ 是 }A\text{ 的最大特征值,}w\text{ 对应的向量即为权重向量}\\
&\text{将判断矩阵进行归一化处理,得到矩阵 }B=(b_{ij})_{n\times n}\\
&\text{其中 }b_{ij}=\frac{a_{ij}}{\sum_{j=1}^n a_{ij}}\\
&\text{求矩阵 }B\text{ 的特征向量 }w=(w_1,w_2,\cdots,w_n)^T\\
&\text{则向量 }w\text{ 即为判断矩阵 }A\text{ 的权重向量}\\
\end{aligned}
$$
4. 一致性检验
通过一致性指标CR(Consistency Ratio)检验判断矩阵是否合理。CR值越小,判断矩阵越合理。如果CR值大于0.1,则需要重新构建判断矩阵,直到CR值小于等于0.1。CR的计算公式如下:
$$
CR=\frac{CI}{RI}
$$
其中,CI为一致性指标,RI为随机一致性指标。当CR小于等于0.1时,判断矩阵的一致性可以接受。
5. 综合评价
通过对每个决策单元的权重向量进行综合评价,得出最终决策结果。具体计算公式如下:
设决策单元为 $D_1,D_2,\cdots,D_m$,其对应的权重向量为 $w_1,w_2,\cdots,w_m$,则 $D_i$ 的综合得分为:
$$
S_i=\sum_{j=1}^n w_{ij}x_{ij}
$$
其中,$x_{ij}$ 为决策单元 $D_i$ 在准则 $j$ 上的得分。根据综合得分的大小,可以对决策单元进行排序,最终得出最优方案。