层次分析法求权重的具体步骤及公式
时间: 2024-05-18 21:12:37 浏览: 38
层次分析法(Analytic Hierarchy Process,AHP)是一种多准则决策方法,可以用于分析和解决具有多种因素和多种目标的决策问题。该方法通过将决策问题分解成不同层次的因素和目标,然后通过对因素和目标之间的相对重要性进行比较来确定最终的决策。
以下是层次分析法求权重的具体步骤及公式:
1. 确定层次结构:将决策问题分解成多个层次,并确定每个层次的因素和目标。
2. 构建判断矩阵:对于每个层次的因素和目标,构建一个判断矩阵,其中每个元素表示该因素或目标相对于其他因素或目标的重要程度。判断矩阵是一个n \times n的矩阵,其中n表示因素或目标的数量,矩阵中第i行第j列表示第i个因素或目标相对于第j个因素或目标的重要程度。
3. 计算特征向量:对于每个判断矩阵,计算其特征向量,即该矩阵对应的特征值为1的归一化特征向量。
4. 计算一致性指标:计算判断矩阵的一致性指标,用于评估判断矩阵中各元素之间的一致性程度。一致性指标越小,表示判断矩阵的一致性越好。
5. 计算权重:根据特征向量和一致性指标,计算每个因素或目标的权重。
具体的计算公式如下:
先计算判断矩阵的特征向量:
$$\lambda \mathbf{v} = \mathbf{Av}$$
其中,$\mathbf{A}$是判断矩阵,$\lambda$是对应的特征值,$\mathbf{v}$是对应的特征向量。
将特征向量进行归一化,即:
$$\mathbf{w} = \frac{\mathbf{v}}{\sum_{i=1}^n v_i}$$
计算一致性指标:
$$\text{CI} = \frac{\lambda - n}{n-1}$$
其中,$\text{CI}$是一致性指标,$\lambda$是特征值。
如果$\text{CI}$小于0.1,则认为判断矩阵的一致性可以接受。
计算权重:
$$w_i = \frac{\sum_{j=1}^n a_{ji}}{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ji}}$$
其中,$w_i$是第i个因素或目标的权重,$a_{ji}$是判断矩阵中第i行第j列的元素。
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