用Matlab 求解方程 d 2 y(t) + 4 dy(t) + 3y(t) = dx(t) + 3x(t), x(t) = e−tu(t) 的零状态响应。

首先，我们可以将方程改写为特征方程和非齐次方程的形式：

特征方程：d^2y(t) + 4dy(t) + 3y(t) = 0

非齐次方程：dx(t) + 3x(t) = 0

对于特征方程，我们可以求出其特征根：

λ^2 + 4λ + 3 = 0

解得 λ1 = -1, λ2 = -3

因此，特征方程的通解为：

y(t) = c1e^(-t) + c2e^(-3t)

接下来，我们需要求出非齐次方程的零状态响应，即对于输入x(t) = e^(-tu(t))，其对应的零状态响应y(t)。

我们可以使用拉普拉斯变换的方法求解。

首先对于非齐次方程，我们可以进行拉普拉斯变换：

sY(s) - y(0) + 4sY(s) + 3Y(s) = X(s)/(s+3)

其中，y(0) 为初始时刻的状态。

将其改写为 Y(s) 的表达式：

Y(s) = X(s)/(s^2 + 4s + 3) + y(0) / (s+3) + C

其中，C 为常数，由于我们要求的是零状态响应，因此 C = 0。

这样，我们可以得到 Y(s) 的表达式，再将其进行拉普拉斯反变换，即可得到 y(t) 的表达式：

y(t) = (1/2)e^(-t) - (1/2)e^(-3t) + (1/2)e^(-t)u(t)

因此，对于输入 x(t) = e^(-tu(t))，其对应的零状态响应为：

y(t) = (1/2)e^(-t) - (1/2)e^(-3t) + (1/2)e^(-t)u(t)

其中，u(t) 为单位阶跃函数。