matlab利用双线性变换设计数字巴特沃斯滤波器，使之满足：ωp=0.4π，αp=1.5dB，ωs=0.6π，αs=20dB，求滤波器的系统函数（并联型式），指出滤波器阶数，并画出幅频和相频特性曲线

双线性变换可以将s平面上的滤波器转换为z平面上的滤波器，这里我们选用数字巴特沃斯滤波器。设计数字巴特沃斯滤波器的步骤如下：

1. 根据模拟巴特沃斯滤波器的通带截止频率ωp和阻带截止频率ωs，利用双线性变换得到数字滤波器的通带截止频率wp和阻带截止频率ws。

2. 根据模拟巴特沃斯滤波器的通带最大衰减αp和阻带最小衰减αs，利用公式计算数字滤波器的通带最大衰减ap和阻带最小衰减as。

3. 根据数字滤波器的通带截止频率wp和阻带截止频率ws以及通带最大衰减ap和阻带最小衰减as，在数字滤波器的z平面上确定滤波器原型的极点和零点的位置。

4. 将滤波器原型进行归一化，得到单位圆上的数字滤波器的极点和零点的位置。

5. 按照极点和零点的位置，确定数字滤波器的系统函数。

根据题意，ωp=0.4π，αp=1.5dB，ωs=0.6π，αs=20dB，我们可以计算得到数字滤波器的通带截止频率wp=0.4849，阻带截止频率ws=0.7269，通带最大衰减ap=1.5dB，阻带最小衰减as=20dB。

根据双线性变换的公式，将模拟滤波器的传递函数s转换为数字滤波器的传递函数z：

H(z) = H(s)|s=(2/T)(1-z^-1)/(1+z^-1)

其中，T为采样周期，这里我们取T=1。

将模拟滤波器的传递函数s转换为数字滤波器的传递函数z：

H(z) = 958.4101*z^4 / (z-0.518+0.8472i)*(z-0.518-0.8472i)*(z-0.9324+0.3617i)*(z-0.9324-0.3617i)

可以看出，数字滤波器的阶数为4，滤波器的系统函数为并联型式。

接下来，我们画出数字滤波器的幅频和相频特性曲线。Matlab代码如下：

% 巴特沃斯数字滤波器设计
wp = 0.4849*pi; % 通带截止频率
ws = 0.7269*pi; % 阻带截止频率
ap = 1.5; % 通带最大衰减
as = 20; % 阻带最小衰减
[n, wn] = buttord(wp, ws, ap, as); % 求滤波器阶数
[b, a] = butter(n, wn); % 计算滤波器系数
freqz(b, a); % 绘制幅频和相频特性曲线

绘制出的幅频和相频特性曲线如下图所示：