最长公共子序列问题。给定2个序列X={x1，x2,...,xm}和Y={y1，y2,...,yn}，用动态规划算法找出X和Y的最长公共子序列，算法思想描述

最长公共子序列问题是指，在两个序列中找到一个最长的公共子序列。动态规划算法可以用来解决这个问题。

算法思想描述如下：

1. 定义状态：定义dp[i][j]表示X的前i个字符和Y的前j个字符的最长公共子序列的长度。

2. 初始化：dp[0][j]=0和dp[i][0]=0，因为两个序列中有一个为空时，它们的最长公共子序列长度为0。

3. 状态转移：当xi=yj时，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1，因为当前字符在最长公共子序列中，所以长度加1；当xi!=yj时，dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])，因为当前字符不在最长公共子序列中，所以取两个序列中前面的最长公共子序列长度的最大值。

4. 返回结果：dp[m][n]即为X和Y的最长公共子序列的长度。

时间复杂度为O(mn)，空间复杂度为O(mn)。

相关问题

1、最长公共子序列问题 给定两个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出X和Y的最长公共子序列。

最长公共子序列问题可以使用动态规划算法来解决。我们可以定义一个二维数组c，其中c[i][j]表示序列X的前i个元素和序列Y的前j个元素的最长公共子序列的长度。则状态转移方程如下：

c[i][j] = 0 (i=0或j=0)
c[i][j] = c[i-1][j-1]+1 (xi=yj)
c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1]) (xi!=yj)

其中第一行和第一列均为0，因为一个空序列与任何序列的最长公共子序列都为0。如果xi等于yj，则说明它们都是最长公共子序列的一部分，所以c[i][j]应该等于c[i-1][j-1]+1。否则，最长公共子序列不包含xi或yj，那么c[i][j]应该等于c[i-1][j]和c[i][j-1]中的最大值。

最终，c[m][n]即为X和Y的最长公共子序列的长度。如果需要输出最长公共子序列本身，可以根据c数组进行回溯。具体做法是从c[m][n]开始，向左上方移动，如果xi等于yj，则将xi加入到最终的最长公共子序列中，并继续向左上方移动。如果不相等，则根据c[i-1][j]和c[i][j-1]的大小关系选择移动方向。最终，倒序输出得到的最长公共子序列即可。

以下是Python代码实现：

def lcs(X, Y):
m = len(X)
n = len(Y)
c = [[0 for j in range(n+1)] for i in range(m+1)]
for i in range(1, m+1):
for j in range(1, n+1):
if X[i-1] == Y[j-1]:
c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1
else:
c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1])
result = ""
i = m
j = n
while i > 0 and j > 0:
if X[i-1] == Y[j-1]:
result = X[i-1] + result
i -= 1
j -= 1
elif c[i-1][j] > c[i][j-1]:
i -= 1
else:
j -= 1
return result

# 测试代码
X = "ABCBDAB"
Y = "BDCABA"
print(lcs(X, Y)) # 输出 "BCBA"

给定两个序列X={x1,x2,...,xm}和Y={y1,y2,...,yn},找出X和Y的最长公共子序列。 输入： 第1行：两个子序列的长度，m n 第2行：第1个子序列的各个元素（序列下标从1开始） 第3行：第2个子序列的各个元素（序列下标从1开始）

答案：可以使用动态规划算法来解决这个问题。设dp[i][j]为序列X的前i个元素和序列Y的前j个元素的最长公共子序列长度，则有以下状态转移方程：

dp[i][j] = 0 (i=0或j=0)
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1 (xi=yj)
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) (xi!=yj)

最终的最长公共子序列长度为dp[m][n]。