请帮我证明A乘B的行列式等于A的行列式乘B的行列式

要证明A乘B的行列式等于A的行列式乘B的行列式，我们可以使用行列式的定义进行推导。

假设A和B都是n阶方阵，那么它们的行列式分别为|A|和|B|。

首先，我们将A乘B的矩阵记为C，C的第i行第j列元素为A的第i行乘以B的第j列的结果，即：

C[i][j] = A[i][1]B[1][j] + A[i][2]B[2][j] + ... + A[i][n]B[n][j]

接着，我们可以通过代数运算将C的行列式展开为：

|C| = ∑[(-1)^(i+j)C[i][j]M[i][j]]

其中，M[i][j]表示C去掉第i行第j列后的余子式。将C的定义代入上式，得到：

|C| = ∑[(-1)^(i+j)(A[i][1]B[1][j] + A[i][2]B[2][j] + ... + A[i][n]B[n][j])M[i][j]]

我们可以把式子拆开，得到：

|C| = ∑[(-1)^(i+j)A[i][1]B[1][j]M[i][j] + (-1)^(i+j)A[i][2]B[2][j]M[i][j] + ... + (-1)^(i+j)A[i][n]B[n][j]M[i][j]]

观察上式，可以发现每个加法项的形式都是A的某一行乘以B的某一列，再乘以一个余子式。这恰好就是A行列式和B行列式的乘积，即：

|C| = |A||B|

因此，A乘B的行列式等于A的行列式乘B的行列式，证毕。

相关问题

行列式乘其伴随阵为什么等于行列式的模乘单位矩阵

我们知道，一个n阶方阵A的伴随阵记作adj(A)，其定义为A的代数余子式组成的矩阵的转置矩阵。即

adj(A) = (A_ij)^(T)

其中A_ij是A的第i行第j列的代数余子式。而A的行列式记作det(A)。

那么，根据行列式的性质，有det(A)*adj(A) = A^(T)*A。

因此，如果A是一个可逆矩阵，那么A的逆矩阵A^(-1)就可以表示为：

A^(-1) = adj(A) / det(A)

因此，我们可以得到：

det(A)*adj(A) = A^(T)*A = |A|^2 * I

其中I是单位矩阵，|A|是A的行列式模。

因此，行列式乘其伴随阵等于行列式的模乘以单位矩阵。

symbol如何求数乘行列式

要计算一个数与一个行列式的乘积，可以将该数与行列式中的每个元素相乘，然后将结果相加得到最终的乘积。

假设我们有一个 n × n 的行列式 A，要求其与数 k 的乘积。那么可以表示为：

kA =
| k * a11 k * a12 ... k * a1n |
| k * a21 k * a22 ... k * a2n |
| ... ... ... |
| k * an1 k * an2 ... k * ann |

其中，aij 表示行列式 A 中的元素。通过按行或按列展开行列式，将每个元素与 k 相乘并相加，即可得到最终的乘积。