|kA| = (k^n) |A| 即 kA的行列式等于 A的行列式乘以k的n次方。
时间: 2024-06-17 19:06:40 浏览: 21
这个等式是说,如果你把一个矩阵的所有元素都乘以一个数k,那么这个新矩阵的行列式就等于原矩阵行列式乘以k的n次方,其中n是矩阵的阶数,|A|是原矩阵A的行列式。
这个等式的证明可以通过数学归纳法来进行。对于n=1的情况,显然成立。假设等式对于n=k-1成立,我们来证明它对于n=k也成立。将矩阵A的第一行乘以k,然后加到第二行到第k行上去,得到一个新矩阵B。B的第一行与A相同,因此B的行列式等于A的行列式。对于B的第二行到第k行,都是原来的那些行加上k倍的第一行,因此B的行列式等于A的行列式乘以k^(k-1)。然后再把B的第一列乘以k,加到第二列到第k列上去,得到一个新矩阵C。C的第一列与B相同,因此C的行列式等于B的行列式。对于C的第二列到第k列,都是原来的那些列加上k倍的第一列,因此C的行列式等于B的行列式乘以k^(k-1)。因此,C的行列式就等于A的行列式乘以k^k,证毕。
相关问题
使用C++实现ECDSA算法,kA=(u,v);r=u mod q;s=k^(-1)(Hash(x)+mr) mod q;q=13;Hash(x)=2^x mod q;椭圆曲线方程为y^2=x^3+x+6 输入: x0 y0 //给定椭圆曲线加法群中的非无穷远点A m x k //private key m;message x;random number k 输出: r s 若r=0或s=0,则重新选取k 示例 输入 2 7 7 2 3 输出 8 7
以下是使用C++实现ECDSA算法的代码:
```cpp
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <gmpxx.h>
using namespace std;
// 椭圆曲线参数
const mpz_class a = 1;
const mpz_class b = 6;
const mpz_class p = 13;
// 定义点类
class Point {
public:
Point() { x = 0; y = 0; }
Point(mpz_class X, mpz_class Y) { x = X; y = Y; }
mpz_class x;
mpz_class y;
};
// 判断点是否在曲线上
bool is_on_curve(Point P) {
mpz_class t = (P.y * P.y - P.x * P.x * P.x - a * P.x - b) % p;
return (t == 0);
}
// 计算点的逆元
Point point_inverse(Point P) {
return Point(P.x, -P.y % p);
}
// 计算点的加法
Point point_add(Point P, Point Q) {
if (P.x == 0 && P.y == 0) return Q;
if (Q.x == 0 && Q.y == 0) return P;
if (P.x == Q.x && P.y == (-Q.y % p)) return Point(0, 0);
if (P.x != Q.x) {
mpz_class lambda = ((Q.y - P.y) * (Q.x - P.x).get_mpf_t() * (Q.x - P.x).get_mpf_t().get_d() * mpz_class(-1).get_mpf_t().get_d().get_si()) % p;
mpz_class x3 = (lambda * lambda - P.x - Q.x) % p;
mpz_class y3 = (lambda * (P.x - x3) - P.y) % p;
return Point(x3, y3);
}
else {
mpz_class lambda = ((3 * P.x * P.x + a) * (mpz_class(2) * P.y).get_mpf_t() * mpz_class(-1).get_mpf_t().get_d().get_si()) % p;
mpz_class x3 = (lambda * lambda - mpz_class(2) * P.x) % p;
mpz_class y3 = (lambda * (P.x - x3) - P.y) % p;
return Point(x3, y3);
}
}
// 计算点的k倍
Point point_mul(Point P, mpz_class k) {
Point R(0, 0);
while (k != 0) {
if ((k & 1) == 1) R = point_add(R, P);
P = point_add(P, P);
k >>= 1;
}
return R;
}
// 计算Hash(x)
mpz_class Hash(mpz_class x) {
mpz_class t = x * x * x + x + 6;
t = t % p;
mpz_class r = 1;
for (int i = 0; i < t; i++) r = (r * 2) % p;
return r;
}
// 计算kA
Point point_kA(Point A, mpz_class k) {
return point_mul(A, k);
}
// 计算k的逆元
mpz_class inverse(mpz_class k, mpz_class p) {
k %= p;
mpz_class a = k, b = p, x = 1, y = 0;
while (b != 0) {
mpz_class t = a / b;
mpz_class r = a - t * b;
a = b;
b = r;
mpz_class r2 = x - t * y;
x = y;
y = r2;
}
if (x < 0) x += p;
return x;
}
int main() {
// 读入椭圆曲线上的点A和私钥m
mpz_class x0, y0, m;
cin >> x0 >> y0 >> m;
Point A(x0, y0);
if (!is_on_curve(A)) {
cout << "The point is not on the curve." << endl;
return 0;
}
// 读入消息x和随机数k
mpz_class x, k;
cin >> x >> k;
// 计算kA
Point kA = point_kA(A, k);
// 计算r=u mod q
mpz_class r = kA.x % p;
// 如果r=0,则重新选取k
if (r == 0) {
cout << "r is zero. Please choose another k." << endl;
return 0;
}
// 计算Hash(x)
mpz_class hx = Hash(x);
// 计算s=k^(-1)(Hash(x)+mr) mod q
mpz_class s = (inverse(k, p) * (hx + m * r) % p) % p;
// 如果s=0,则重新选取k
if (s == 0) {
cout << "s is zero. Please choose another k." << endl;
return 0;
}
// 输出r和s
cout << r << " " << s << endl;
return 0;
}
```
输入样例:
```
2 7 7
2 3
```
输出样例:
```
8 7
```
行列式性质与初等变换
行列式是一个非常重要的概念,它是线性代数中的一个基础知识点。下面是关于行列式的性质和初等变换的介绍:
1. 行列式的定义:对于一个 $n$ 阶方阵 $A=(a_{ij})$,它的行列式定义为 $|A|=\sum_{\sigma\in S_n}(-1)^{\sigma}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}$,其中 $S_n$ 表示 $n$ 个元素的置换群,$\sigma$ 是 $S_n$ 中的一个置换,$(-1)^{\sigma}$ 表示置换 $\sigma$ 的奇偶性。
2. 行列式的性质:
- 行列式与它的转置矩阵的行列式相等,即 $|A|=|A^T|$。
- 如果矩阵 $A$ 的某一行(或某一列)全为 $0$,则 $|A|=0$。
- 如果矩阵 $A$ 的两行(或两列)交换,则行列式变号,即 $|A|=-|A'|$,其中 $A'$ 是交换后的矩阵。
- 如果矩阵 $A$ 的某一行(或某一列)乘以一个数 $k$,则行列式也乘以 $k$,即 $|kA|=k^n|A|$,其中 $n$ 是矩阵的阶数。
- 如果矩阵 $A$ 的某一行(或某一列)加上另一行(或另一列)的 $k$ 倍,则行列式不变,即 $|A|=|A'|$,其中 $A'$ 是变换后的矩阵。
3. 初等变换:对于一个矩阵 $A$,我们可以通过三种基本的初等变换来得到一个新的矩阵 $B$,它们分别是:
- 交换矩阵的两行(或两列);
- 用一个非零数 $k$ 乘矩阵的某一行(或某一列);
- 把矩阵的某一行(或某一列)加上另一行(或另一列)的 $k$ 倍。
通过这些初等变换,我们可以把一个矩阵变成一个行阶梯形矩阵或者一个简化的行阶梯形矩阵,从而方便计算它的行列式和求解线性方程组。
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