b是单位向量1,证明A(a)=a-2<a,b>b,(a∈V)是正交变换
时间: 2023-06-13 20:07:25 浏览: 78
为了证明A(a)是正交变换,我们需要证明它满足以下两个条件:
1. A(a)是线性变换;
2. A(a)保持向量的长度和角度不变。
首先,我们证明A(a)是线性变换。对于任意的向量u,v∈V,有:
A(a)(u + v) = (u + v) - 2<(u + v), b>b
= (u - 2<u,b>b) + (v - 2<v,b>b)
= A(a)(u) + A(a)(v)
A(a)(ku) = ku - 2<ku,b>b
= k(u - 2<u,b>b)
= kA(a)(u)
因此,A(a)是线性变换。
接下来,我们证明A(a)保持向量的长度和角度不变。对于任意的向量u∈V,有:
||A(a)(u)||^2 = ||u - 2<u,b>b||^2
= ||u||^2 - 4<u,b>^2 + 4<u,b>^2
= ||u||^2
因此,A(a)保持向量的长度不变。对于任意的向量u,v∈V,有:
cosθ = <u,v> / ||u|| ||v||
cosθ' = <A(a)(u),A(a)(v)> / ||A(a)(u)|| ||A(a)(v)||
= <u,v> / ||u|| ||v|| = cosθ
因此,A(a)保持向量的角度不变。
综上所述,A(a)是一个正交变换。
相关问题
证明变换A是正交变换和该变换是对称变换,A^2=idv等价
假设A是一个n x n矩阵,其中idv是n x n的单位矩阵。
首先证明如果A是正交变换,则A是对称变换:
因为A是正交变换,所以满足A^T A = idv。对于任意矩阵B,有(A^T B)^T = B^T A,因此如果取B=A,那么(A^T A)^T = A^T A,即A^T = A,所以A是对称变换。
然后证明如果A是对称变换,则A是正交变换:
因为A是对称变换,所以满足A^T = A。因此,对于任意向量x,有x^T A^T A x = (Ax)^T Ax = ||Ax||^2。因为A是对称变换,所以它的特征值都是实数,同时因为A^T A = idv,所以它的特征值只可能是1或-1。因此,||Ax||^2 = λ||x||^2,其中λ = 1或λ = -1。因为||Ax|| >= 0,所以λ必须是1,即A是正交变换。
最后证明A^2 = idv等价于A是正交变换且A是对称变换:
如果A是正交变换,则有A^T A = idv,因此A^2 = idv。因为A是正交变换,所以它的特征值只可能是1或-1,因此A^2 = idv等价于A的特征值只可能是1或-1。因此,A是正交变换且A^2 = idv等价于A的特征值只可能是1或-1。
如果A是对称变换,则有A^T = A,因此A^2 = A A^T = A^T A = idv。因为A是对称变换,所以它的特征值只可能是实数,同时因为A^2 = idv,所以它的特征值只可能是1或-1。因此,A^2 = idv等价于A的特征值只可能是1或-1。因此,A是对称变换且A^2 = idv等价于A的特征值只可能是1或-1。
综上所述,A是正交变换且A是对称变换等价于A^2 = idv。
证明向量v=(A,B)是直线Ax+By+C=0的法向量
该直线的法向量应该垂直于该直线,即在直线上取两点P1和P2,向量P1P2必为该直线的法向量。因此我们需要找到两个点P1和P2,满足$Ax+By + C = 0$。
假设P1为$(0, -C/B)$,P2为$(1, (-A-C)/B)$,则$\vec{P1P2}=(1,-A/B)$。而向量$v=(A,B)$满足$\vec{v}\cdot\vec{P1P2}=A-B\times\frac{A+C}{B}=A-A-C= -C$,因此$v$是直线$Ax+By+C=0$的法向量。
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