利用范德蒙德行列式，证明n次多项式至多有n个根

要证明一个n次多项式至多有n个根，我们可以利用范德蒙德行列式的性质来进行证明。

假设我们有一个n次多项式 P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0，其中 a_i 是多项式的系数。

首先，我们假设 P(x) 有超过n个根，即存在 n+1 个不同的数 r_0, r_1, ..., r_n，使得 P(r_0) = P(r_1) = ... = P(r_n) = 0。

然后，我们可以构造一个 n×n 的范德蒙德行列式 V，其中第 i 行的元素为 r_i 的各次幂：

V = | 1 r_0 r_0^2 ... r_0^{n-1} |
| 1 r_1 r_1^2 ... r_1^{n-1} |
| . . . . |
| . . . . |
| . . . . |
| 1 r_n r_n^2 ... r_n^{n-1} |

根据范德蒙德行列式的定义，如果 V 的行向量线性相关，即行向量可以表示成其他行向量的线性组合，则 V 的行列式为零。

现在我们考虑多项式 P(x) 在每个根 r_i 处的取值，根据前提条件，P(r_i) = 0，即多项式在每个根处都等于零。

我们可以将多项式 P(x) 表示为一个系数向量和范德蒙德行列式的乘积：

P(x) = | a_n a_{n-1} ... a_1 a_0 | * V^T

其中，V^T 表示 V 的转置。

如果 P(x) 在每个根处都等于零，那么乘积的结果也应该等于零。即：

| a_n a_{n-1} ... a_1 a_0 | * V^T = 0

但是，我们已经知道 V 的行列式为零，因此根据行列式的性质，系数向量与 V^T 相乘的结果也必须为零。

这意味着系数向量与 V^T 的乘积为零向量。然而，范德蒙德行列式的性质保证了 V 的行向量线性无关，因此只有零向量才能使得系数向量与 V^T 的乘积为零向量。

因此，我们得出结论：如果一个n次多项式 P(x) 有超过n个根，那么系数向量与范德蒙德行列式的乘积不可能为零向量，与前提条件相矛盾。

因此，我们证明了一个n次多项式至多有n个根的结论。