写出n次拉格朗日插值多项式
时间: 2023-12-14 16:01:17 浏览: 41
拉格朗日插值多项式是通过已知的n个数据点(x1,y1),(x2,y2),。。。,(xn,yn),构造出一个n次的多项式,用来近似表示这些数据点。其表示形式为:
P(x) = Σ (yi * li(x))
其中,i的取值范围为1到n,li(x)表示拉格朗日基函数,具体表示为:
li(x) = Π (x - xj) / (xi - xj)
j的取值范围为1到n,j不等于i。其中,Π表示连乘运算。
举个例子,如果有三个数据点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),那么构造的三次拉格朗日插值多项式为:
P(x) = y1 * l1(x) + y2 * l2(x) + y3 * l3(x)
其中,li(x)表示为:
l1(x) = (x - x2)(x - x3) / (x1 - x2)(x1 - x3)
l2(x) = (x - x1)(x - x3) / (x2 - x1)(x2 - x3)
l3(x) = (x - x1)(x - x2) / (x3 - x1)(x3 - x2)
这样构造出的插值多项式P(x)将会通过这三个数据点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),并且在三个数据点处的函数值分别为y1,y2,y3。这个多项式可以用来预测未知数据点的函数值,从而实现数据的插值和近似。
相关问题
用matlab写出拉格朗日插值多项式余项
拉格朗日插值多项式的余项可以表示为:
R_n(x) = f(x) - P_n(x)
其中,f(x)为原函数,P_n(x)为n次拉格朗日插值多项式。余项R_n(x)可以表示为:
R_n(x) = (x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n) / (n+1)! * f^(n+1)(c)
其中,x_0, x_1, ..., x_n为插值节点,f^(n+1)(c)为原函数在插值节点x_0, x_1, ..., x_n之间的n+1阶导数在某一点c处的值。
下面是用MATLAB实现求解拉格朗日插值多项式余项的代码:
syms x; % 定义符号变量x
n = input('请输入插值节点个数n: ');
f = input('请输入原函数f(x): ');
a = input('请输入插值区间左端点a: ');
b = input('请输入插值区间右端点b: ');
x0 = linspace(a, b, n+1); % 生成插值节点
L = ones(n+1, length(x)); % 初始化拉格朗日插值基函数
for i = 1:n+1
for j = 1:n+1
if i ~= j
L(i,:) = L(i,:) .* (x - x0(j)) / (x0(i) - x0(j));
end
end
end
P = simplify(sum(f(x0) .* L)); % 求解拉格朗日插值多项式
R = simplify(f - P); % 求解余项
disp(['拉格朗日插值多项式为:', char(P)]);
disp(['余项为:', char(R)]);
给我用matlab写出拉格朗日插值多项式余项代码
以下是用 Matlab 编写的拉格朗日插值多项式余项代码:
```matlab
function [Rn] = lagrange_remainder(x, y, xn)
% x: 插值点的横坐标
% y: 插值点的纵坐标
% xn: 求余项的点的横坐标
n = length(x) - 1;
syms t;
L = ones(n+1, 1);
for i = 1 : n+1
for j = 1 : n+1
if i ~= j
L(i) = L(i) * (t-x(j)) / (x(i)-x(j));
end
end
end
f = 1;
for i = 1 : n+1
f = f * (t-x(i));
end
f = diff(f, n+1);
Rn = f * L(n+1) * prod(xn-x) / factorial(n+1);
```
其中,`x` 和 `y` 分别表示插值点的横坐标和纵坐标,`xn` 表示求余项的点的横坐标。函数返回的 `Rn` 即为余项。注意,这里使用了符号计算工具箱中的 `syms` 和 `diff` 函数,需要先安装并导入该工具箱。