给定函数 指定节点处的函数值（如下表） x 3 5 7 f(x) 2 7 3 写出 的拉格朗日插值函数 ： 写出 的Newton插值多项式 ：

根据拉格朗日插值的公式，可以得到：

$L_0(x)=\dfrac{(x-5)(x-7)}{(3-5)(3-7)}=\dfrac{(x-5)(x-7)}{8}$

$L_1(x)=\dfrac{(x-3)(x-7)}{(5-3)(5-7)}=-\dfrac{(x-3)(x-7)}{4}$

$L_2(x)=\dfrac{(x-3)(x-5)}{(7-3)(7-5)}=\dfrac{(x-3)(x-5)}{8}$

所以拉格朗日插值函数为：

$$f(x)=2L_0(x)+7L_1(x)+3L_2(x)=\dfrac{1}{8}(2(x-5)(x-7)-7(x-3)(x-7)+3(x-3)(x-5))$$

化简后得：

$$f(x)=-\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{35}{4}x-\dfrac{37}{4}$$

根据Newton插值的公式，可以得到：

$f[3]=2$

$f[5]=7$

$f[7]=3$

$f[3,5]=\dfrac{f[5]-f[3]}{5-3}=\dfrac{5}{2}$

$f[5,7]=\dfrac{f[7]-f[5]}{7-5}=-2$

$f[3,5,7]=\dfrac{f[5,7]-f[3,5]}{7-3}=-\dfrac{1}{2}$

所以Newton插值多项式为：

$$f(x)=2+2(x-3)-\dfrac{5}{2}(x-3)(x-5)-2(x-3)(x-5)(x-7)+\dfrac{1}{2}(x-3)(x-5)(x-7)$$

化简后得：

$$f(x)=-\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{35}{4}x-\dfrac{37}{4}$$

可以看出，拉格朗日插值函数和Newton插值多项式得到的结果是一样的。