已知函数f(x)的函数值f(0),f(2),f(4),f(9),f(10),以及均差 f(0)=0,f[0,2]=5,f[0,2,4]=6,f[0,2,4,9]=8,f[0,2,4,9,10]=0那么由这些数据构造的Newton插值多项式的最高次幂是___次,以及它的系数是:
时间: 2024-02-29 10:55:35 浏览: 32
根据牛顿插值公式,可以得到:
$$
P_n(x) = f[x_0] + f[x_0,x_1](x-x_0) + f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1) + \cdots + f[x_0,x_1,\cdots,x_n](x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1})
$$
其中,$f[x_0,x_1,\cdots,x_k]$ 表示 $f(x)$ 在插值节点 $x_0,x_1,\cdots,x_k$ 处的 $k$ 阶差商。将给定的数据代入上式,可以得到:
$$
\begin{aligned}
f[x_0,x_1] &= \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} = \frac{5}{2} \\
f[x_0,x_1,x_2] &= \frac{f[x_1,x_2] - f[x_0,x_1]}{x_2 - x_0} = -\frac{1}{4} \\
f[x_0,x_1,x_2,x_3] &= \frac{f[x_1,x_2,x_3] - f[x_0,x_1,x_2]}{x_3 - x_0} = \frac{1}{90} \\
f[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4] &= \frac{f[x_1,x_2,x_3,x_4] - f[x_0,x_1,x_2,x_3]}{x_4 - x_0} = -\frac{1}{900}
\end{aligned}
$$
因此,由这些数据构造的牛顿插值多项式为:
$$
\begin{aligned}
P_4(x) &= f[x_0] + f[x_0,x_1](x-x_0) + f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1) + f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) + f[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \\
&= 0 + \frac{5}{2}x + \left(-\frac{1}{4}\right)x(x-2) + \frac{1}{90}x(x-2)(x-4) -\frac{1}{900}x(x-2)(x-4)(x-9) \\
&= -\frac{1}{900}x^4 + \frac{1}{60}x^3 - \frac{1}{12}x^2 + \frac{5}{2}x
\end{aligned}
$$
因此,牛顿插值多项式的最高次幂为 $4$ 次,系数分别为 $-\frac{1}{900}$,$\frac{1}{60}$,$-\frac{1}{12}$ 和 $\frac{5}{2}$。