设计一个工作于采样频率80 kHz的巴特沃斯低通数字滤波器，要求通带边界频率为4 kHz，通带最大衰减为0.5 dB，主带边界频率为20 kHz，主带最小衰减为45 dB。调用Matlab工具性函数buttord和butter设计，显示该数字滤波器系统函数H(z)的系数，并绘制所设计的滤波器的单位脉冲响应、损耗函数曲线和相频特性曲线。（35分

首先，我们可以使用 `buttord` 函数来确定巴特沃斯滤波器的阶数和截止频率。该函数的语法如下：

[n, Wn] = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs)

其中，`Wp` 和 `Ws` 分别是通带和阻带的归一化频率，`Rp` 和 `Rs` 分别是通带和阻带的最大衰减和最小衰减。`n` 是滤波器的阶数，`Wn` 是滤波器的截止频率。

根据题目要求，我们有：

- 采样频率为80 kHz，通带边界频率为4 kHz，主带边界频率为20 kHz；
- 通带最大衰减为0.5 dB，主带最小衰减为45 dB。

将以上参数带入 `buttord` 函数中，可以得到：

Wp = 4 / (80 / 2);  % 归一化通带边界频率
Ws = 20 / (80 / 2);  % 归一化阻带边界频率
Rp = 0.5;  % 通带最大衰减
Rs = 45;  % 阻带最小衰减
[n, Wn] = buttord(Wp, Ws, Rp, Rs);  % 确定滤波器阶数和截止频率

根据 `buttord` 函数的输出，我们得到了滤波器的阶数和截止频率。接下来，可以使用 `butter` 函数来设计巴特沃斯滤波器。该函数的语法如下：

[b, a] = butter(n, Wn, 'low')

其中，`n` 和 `Wn` 分别是滤波器的阶数和截止频率，`'low'` 表示低通滤波器。`b` 和 `a` 分别是滤波器的分子和分母系数。

根据以上参数，可以得到巴特沃斯低通数字滤波器的系数：

[b, a] = butter(n, Wn, 'low');  % 设计巴特沃斯低通数字滤波器

接下来，可以使用 `freqz` 函数来绘制滤波器的单位脉冲响应、损耗函数曲线和相频特性曲线。该函数的语法如下：

[h, w] = freqz(b, a);  % 计算滤波器的频率响应
f = w * (80 / 2) / pi;  % 将角频率转换为实际频率
figure;
subplot(2, 1, 1);
plot(f, abs(h));  % 绘制滤波器的幅频特性
xlabel('Frequency (Hz)');
ylabel('Magnitude');
title('Magnitude Response');
subplot(2, 1, 2);
plot(f, angle(h));  % 绘制滤波器的相频特性
xlabel('Frequency (Hz)');
ylabel('Phase (rad)');
title('Phase Response');

这将绘制出滤波器的幅频特性和相频特性曲线。可以看出，滤波器滤除了20 kHz以上的高频信号，同时保留了4 kHz以下的低频信号。

关于单位脉冲响应和损耗函数的绘制，可以使用以下代码：

figure;
subplot(2, 1, 1);
impulse(b, a);  % 绘制单位脉冲响应
xlabel('Time (s)');
ylabel('Amplitude');
title('Impulse Response');
subplot(2, 1, 2);
freqz(b, a);  % 绘制损耗函数曲线

这将绘制出滤波器的单位脉冲响应和损耗函数曲线。

完整的代码如下：