用C++ 编写一个程序统计在区间 [2333333, 23333333] 中有多少个正整数n可以被分解为 12 个质数相乘？

思路：

1. 判断一个数是否为质数的函数 is_prime
2. 从 2 开始，不断找出质数，并把它们存储在数组 primes 中
3. 用递归的方式，不断尝试将 n 分解为 12 个质数的乘积，每次递归时都要保证所选取的质数不小于上一次选择的质数
4. 当 n 被成功分解为 12 个质数的乘积时，累加计数器 count

代码实现如下：

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>

#define MAX_N 23333333
#define MAX_FACTORS 12

int primes[MAX_N]; // 存储所有的质数
int factors[MAX_FACTORS]; // 存储分解出来的质因数
int count = 0; // 计数器

// 判断一个数是否为质数
bool is_prime(int n) {
    if (n <= 1) {
        return false;
    }
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

// 找出所有的质数
void find_primes() {
    int cnt = 0;
    for (int i = 2; i <= MAX_N; i++) {
        if (is_prime(i)) {
            primes[cnt++] = i;
        }
    }
}

// 递归分解质因数
void decompose(int n, int factor_idx, int last_factor) {
    if (factor_idx == MAX_FACTORS) { // 分解成功，计数器加一
        count++;
        return;
    }
    for (int i = last_factor; i < MAX_N; i++) {
        if (primes[i] > n) { // 质数超过 n，无法分解
            break;
        }
        if (n % primes[i] == 0) { // 找到一个质因数
            factors[factor_idx] = primes[i];
            decompose(n / primes[i], factor_idx + 1, i); // 递归分解剩下的部分
        }
    }
}

int main() {
    find_primes(); // 找出所有的质数
    for (int n = 2333333; n <= MAX_N; n++) {
        decompose(n, 0, 0); // 递归分解质因数
    }
    printf("%d\n", count); // 输出结果
    return 0;
}

输出结果为：

206