用C++编写程序统计在区间 [2333333, 23333333] 中有多少个正整数n可以被分解为 12 个质数相乘？

首先，可以考虑使用素数筛选出所有小于等于 23333333 的质数。然后，可以使用回溯法对这些质数进行选择，直到选出 12 个质数，它们的乘积等于当前的数。具体实现如下：

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>

#define MAXN 23333333

bool is_prime[MAXN + 1];
int primes[MAXN / 4];
int cnt;
int ans;

void init() {
    for (int i = 2; i <= MAXN; i++) {
        is_prime[i] = true;
    }
    for (int i = 2; i <= MAXN; i++) {
        if (is_prime[i]) {
            primes[cnt++] = i;
            for (int j = 2 * i; j <= MAXN; j += i) {
                is_prime[j] = false;
            }
        }
    }
}

void dfs(int cur, int prod, int k) {
    if (k == 12) {
        if (cur > MAXN) {
            return;
        }
        ans++;
        return;
    }
    if (cur > MAXN || prod > MAXN) {
        return;
    }
    for (int i = 0; i < cnt; i++) {
        if (prod > MAXN / primes[i]) {
            break;
        }
        int p = primes[i];
        dfs(cur * (p - 1), prod * p, k + 1);
    }
}

int main() {
    init();
    dfs(1, 1, 0);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

在这个程序中，`is_prime[i]` 表示 $i$ 是否为质数。`primes` 存储所有小于等于 23333333 的质数。`dfs(cur, prod, k)` 表示接下来要选第 k 个质数，当前的数是 cur，当前的积是 prod。如果 k = 12，则说明已经选出了 12 个质数，如果 cur <= MAXN，则说明当前的数可以被分解为 12 个质数相乘。如果 prod > MAXN，则说明再选质数也无法满足条件了。如果 prod * primes[i] > MAXN，则说明再选这个质数也无法满足条件了。否则，选这个质数，继续 dfs。初始调用 dfs(1, 1, 0)，表示从 1 开始选。最后，ans 记录答案，即区间 [2333333, 23333333] 中可以被分解为 12 个质数相乘的正整数的个数。