求解最长公共子序列问题
时间: 2023-10-15 15:30:39 浏览: 83
最长公共子序列问题(LCS)是指给定两个序列,找出它们的最长公共子序列,即在两个序列中以相同顺序出现的最长的子序列。
以下是一种动态规划算法求解LCS问题:
设 A[1...n] 和 B[1...m] 是两个序列,LCS(i,j) 表示 A[1...i] 和 B[1...j] 的最长公共子序列的长度,则可以得到以下递推式:
当 i=0 或 j=0 时,LCS(i,j) = 0
当 A[i]=B[j] 时,LCS(i,j) = LCS(i-1,j-1)+1
当 A[i]!=B[j] 时,LCS(i,j) = max{LCS(i-1,j), LCS(i,j-1)}
最终的最长公共子序列的长度即为LCS(n,m)。
具体的实现方式可以使用二维数组来保存LCS的长度,从数组的左上角开始递推计算,最终得到的右下角的值即为LCS的长度。同时可以使用一个二维数组来记录LCS的具体内容,从右下角开始倒推,最终得到的序列即为LCS。
相关问题
最优时间复杂度求解最长公共子序列问题
求解最长公共子序列(Longest Common Subsequence, LCS)问题的时间复杂度可以通过动态规划方法得到最优解,最常用的是名为“Hirschberg’s Algorithm”或“分治法”的算法,其核心是空间复杂度优化,将原问题分解为两个子问题。这种算法的时间复杂度是O(nm),其中n和m分别是输入序列的长度。
Hirschberg's Algorithm的工作原理:
1. 首先,它将原序列对半分,找到两部分的LCS。
2. 然后,通过递归地处理这两部分,找出整个序列的LCS。
3. 使用了分治策略和自底向上的填充过程,避免了完全填充二维数组的O(n^2)复杂度。
由于每次划分都能减少序列长度的一半,所以实际操作中,虽然总的比较次数是线性对数级别的,但每一步的计算都需要进行一次分割,导致总的时间复杂度看起来仍然是O(nm)。
动态规划求解最长公共子序列问题的基本思想
动态规划求解最长公共子序列问题的基本思想是将问题分解为若干个子问题,采用递推的方式求解子问题,并将结果缓存起来以便后续使用。最终求出原问题的解。
具体来说,对于最长公共子序列问题,我们可以定义一个二维数组dp,其中dp[i][j]表示序列A的前i个元素与序列B的前j个元素的最长公共子序列长度。然后,我们可以根据A[i]和B[j]的大小关系来进行分类讨论:
1. 如果A[i] == B[j],那么dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1,即两个序列的最长公共子序列长度增加了1。
2. 如果A[i] != B[j],那么dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]),即序列A的前i个元素和序列B的前j-1个元素的最长公共子序列长度与序列A的前i-1个元素和序列B的前j个元素的最长公共子序列长度的较大值。
最终,dp[m][n]就是序列A和序列B的最长公共子序列长度,其中m和n分别是序列A和序列B的长度。
因此,动态规划求解最长公共子序列问题的基本思想就是将问题分解为若干个子问题,递推求解子问题,并将结果缓存起来以便后续使用。
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