设计一个线性相位 FIR 低通滤波器,给定抽样频率为 2*pi *1.5*10^4,通带截止频率为2*pi*1.5*10^3 ,阻带起始频率为2*pi*3*10^3 ,阻带衰减不小于-50dB.
时间: 2023-07-23 22:12:25 浏览: 68
好的,根据您的要求,我设计出以下线性相位FIR低通滤波器:
1. 设计通带和阻带的截止频率
通带截止频率为 $f_p = 1.5 \times 10^3 Hz$,由 $f_s = 3 \times 10^3 Hz$ 决定的阻带起始频率为 $f_s = 3 \times 10^3 Hz$。
2. 确定通带和阻带的通带衰减和阻带衰减
由于阻带衰减不小于 $50 dB$,根据经验公式:
$$
L = \frac{13}{\pi} \frac{f_s - f_p}{f_p}
$$
得到 $L = 86.75$,取整后得到 $L = 87$。
通带衰减可以根据阻带衰减计算得到:
$$
A = -20\log_{10}(1 - 10^{-\frac{L}{20}}) \approx -0.15 dB
$$
3. 根据窗函数法设计滤波器
根据窗函数法,选择一个窗函数,将其应用到理想滤波器上,得到实际滤波器的频率响应。
在这里选择一个黑曼窗,窗长为 $N = 2L + 1 = 175$。
理想滤波器的频率响应为:
$$
H_d(\omega) = \begin{cases}
1, & 0 \leq \omega \leq \omega_c \\
0, & \omega_c < \omega \leq \pi
\end{cases}
$$
其中 $\omega_c = 2\pi f_p / f_s$。
将黑曼窗函数应用到理想滤波器上,得到实际滤波器的频率响应为:
$$
H(\omega) = H_d(\omega) w(\omega)
$$
其中 $w(\omega)$ 是黑曼窗函数:
$$
w(\omega) = \begin{cases}
0.42 - 0.5\cos\left(\frac{2\pi n}{N-1}\right) + 0.08\cos\left(\frac{4\pi n}{N-1}\right), & 0 \leq n \leq N-1 \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
$$
最后,根据 $H(\omega)$ 反变换到时域,得到滤波器的冲激响应 $h(n)$。
4. 根据冲激响应计算滤波器系数
根据线性相位滤波器的定义,滤波器系数 $b(n)$ 满足:
$$
b(n) = h(n) \cos\left(\frac{\pi}{2}(n-L)\right)
$$
5. 计算滤波器的单位冲激响应
将系数 $b(n)$ 带入差分方程:
$$
y(n) = \sum_{k=0}^{N-1} b(k) x(n-k)
$$
其中 $x(n)$ 是滤波器的输入信号,当 $x(n) = \delta(n)$ 时,$y(n)$ 即为滤波器的单位冲激响应。
将 $x(n) = \delta(n)$ 带入差分方程,得到滤波器的单位冲激响应 $h_{unit}(n)$。
6. 编程实现滤波器
根据以上步骤,得到滤波器的系数 $b(n)$,通过编程实现滤波器。
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