a,x, b是列向量,a, b是与无关的常向量,a'表示a的转置,x'表示x的转置,计算过程:δ(a'xx'b)/δx,
时间: 2024-06-03 13:10:35 浏览: 10
根据矩阵微积分的知识,可以将δ(a'xx'b)/δx展开为(a'xb+b'xa)的形式,其中x为列向量。具体的计算方法如下:
δ(a'xx'b)/δx = δ(Σ_iΣ_jΣ_k a_i*x_j*x_j*b_j)/δx_k
= δ(Σ_iΣ_j a_i*x_j*Σ_k x_k*b_j)/δx_k (将三重求和拆开)
= δ(Σ_iΣ_j a_i*x_j*(x'*b)_j)/δx_k (将内积写成矩阵形式)
= Σ_j a_i*(x'*b)_j*δ(x_j)/δx_k (对x_j求偏导数)
= Σ_j a_i*b_j δ(x_j)/δx_k (将(x'*b)_j写成b_j*x_j)
因为x是列向量,所以x_j就是x的第j个元素。因此,δ(x_j)/δx_k仅在j=k时为1,其他情况为0。因此,上式可以进一步简化为:
δ(a'xx'b)/δx = Σ_j a_i*b_j δ(x_j)/δx_k
= a'xb + b'xa
因此,δ(a'xx'b)/δx等于a'xb加上b'xa,即(a'xb+b'xa)。
相关问题
x乘x的转置对x的列向量求导
为了回答这个问题,首先需要明确一些基本概念。假设x是一个n行1列的列向量,我们用x_i表示x的第i个元素。
若x是一个实数向量,则x的转置等于它本身。因此,x乘x的转置等于x乘以自身。
若x是一个向量函数,则x的转置的每个元素由函数各个分量的转置得到。因此,x的转置的第i个元素为x_i的转置。
当我们对x的列向量求导时,我们将会得到一个梯度向量。对于一个n维向量函数f(x),其梯度向量的第i个元素等于f(x)对x的第i个元素的偏导数。
因此,对于x乘x的转置,我们将会得到一个2n维的梯度向量。具体的推导如下:
设f(x) = x*x^T,其中x为n行1列的列向量,x的第i个元素为x_i。
将f(x)展开为分量形式,有:
f(x) = [x_1*x_1 + x_2*x_1 + ... + x_n*x_1, x_1*x_2 + x_2*x_2 + ... + x_n*x_2, ..., x_1*x_n + x_2*x_n + ... + x_n*x_n]
对f(x)的每个元素进行求导,得到:
∂f(x)/∂x_i = [2*x_1, 2*x_2, ..., 2*x_n]
因此,x乘x的转置对x的列向量求导得到一个2n维的梯度向量,每个元素的值为2乘以对应x的元素的值。
注意,这里的求导结果可以看作是取x乘x的转置矩阵的主对角线元素的两倍。
y=w转置x+b对w求偏导
假设y是一个标量,w和x都是列向量,那么我们可以将y表示为:
y = w^T x + b
其中,^T 表示矩阵的转置。现在我们需要求w对y的偏导数。
根据链式法则,我们可以将y对w的偏导数表示为:
dy/dw = dy/dy * dy/dw
= 1 * dx/dw
由于x和w都是列向量,因此我们可以将w和x都表示为它们的元素的向量形式,即:
w = [w1, w2, ..., wn]^T
x = [x1, x2, ..., xn]^T
那么,y可以表示为:
y = w1*x1 + w2*x2 + ... + wn*xn + b
现在,我们可以将dy/dw表示为:
dy/dw = [dy/dw1, dy/dw2, ..., dy/dwn]^T
根据y的定义,我们可以将dy/dwi表示为:
dy/dwi = xi
因此,我们可以得到:
dy/dw = [x1, x2, ..., xn]^T
这意味着,y对w的偏导数等于x的转置,也就是:
dy/dw = x^T
因此,我们可以得到:
dy/dw = x^T
这就是求解y=w^T x+b对w求偏导的答案。
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