X* X转置
时间: 2023-07-07 14:14:26 浏览: 95
对于矩阵 X,X * X.transpose() 的结果是一个对称矩阵,其维度为 (N, N),其中 N 表示 X 的行数或列数,具体取决于 X 的形状。这个对称矩阵描述的是 X 中各个行向量之间的内积关系。
例如,如果 X 的形状为 (N, p),则 X * X.transpose() 的每个元素 (i, j) 表示 X 中第 i 行向量和第 j 行向量的内积。如果 X 的形状为 (p, N),则 X * X.transpose() 的每个元素 (i, j) 表示 X 中第 i 列向量和第 j 列向量的内积。
在使用最小二乘法求解线性回归或向量自回归问题时,通常需要计算 X * X.transpose() 的逆矩阵。如果 X 的形状为 (N, p),则 X * X.transpose() 的逆矩阵可以使用以下公式计算:
```
Eigen::MatrixXd inv = (X.transpose() * X).inverse();
```
其中,X.transpose() * X 的形状为 (p, p),是一个正定矩阵,可以直接求逆。如果 X 的形状为 (p, N),则需要使用 X * X.transpose() 来计算逆矩阵:
```
Eigen::MatrixXd inv = (X * X.transpose()).inverse();
```
需要注意的是,X * X.transpose() 有可能是奇异矩阵,无法求逆。这种情况通常发生在样本数 N 小于特征数 p 的情况下,需要进行特征选择或正则化等处理来避免过拟合。
相关问题
矩阵A=X*X的转置,如何求X
设矩阵 $A=X X^T$,其中 $X$ 为 $n$ 行 $m$ 列的矩阵。
首先,我们可以得到以下等式:
$$
A^T = (X X^T)^T = (X^T)^T X^T = X X^T = A
$$
这意味着 $A$ 是一个对称矩阵。因此,我们可以将 $A$ 进行对角化,得到:
$$
A = Q \Lambda Q^T
$$
其中,$Q$ 是一个正交矩阵,$\Lambda$ 是一个对角矩阵,对角线上的元素是 $A$ 的特征值。
因为 $A=X X^T$,所以 $A$ 的特征值非负。因此,$\Lambda$ 的对角线上的元素也非负。我们可以将 $\Lambda$ 的非零元素开平方根,得到一个对角矩阵 $D$:
$$
D_{ii} = \begin{cases} \sqrt{\Lambda_{ii}}, & \Lambda_{ii} > 0 \\ 0, & \Lambda_{ii} = 0 \end{cases}
$$
然后,我们可以得到:
$$
X = Q D Q^T
$$
这就是 $X$ 的解。请注意,如果 $A$ 的特征值中有零元素,则 $X$ 将不唯一。此外,如果 $A$ 不是半正定矩阵,则 $X$ 不存在。
x转置Ax对x求偏导
根据引用\[1\]中的解释,当求解x转置Ax对x求偏导时,我们需要将x视为列向量,并对x的每个分量分别求偏导数。然后将这些偏导数整理成一个列向量,与x的形状保持一致。所以,对于x转置Ax对x求偏导,结果应该是一个与x形状相同的列向量。
#### 引用[.reference_title]
- *1* [向量,标量对向量求导数](https://blog.csdn.net/weixin_41230454/article/details/83818225)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v91^insertT0,239^v3^insert_chatgpt"}} ] [.reference_item]
- *2* [线性代数之矩阵偏导](https://blog.csdn.net/shenliang1985/article/details/115671355)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v91^insertT0,239^v3^insert_chatgpt"}} ] [.reference_item]
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