3.对关键字序列(26, 18, 60, 14, 7, 45, 13, 32) 进行降序的堆排序，写出构建的初始堆及前两趟排序重建堆之后序列状态。

首先，构建初始堆的过程如下：

1. 将关键字序列依次插入到一个空堆中，得到一个初始堆。
2. 从最后一个非叶子节点开始，依次向上调整堆，使得每个节点的关键字都大于等于其子节点的关键字，直到根节点。

在这个过程中，最后一个非叶子节点的下标为3（从0开始计数），其关键字为14。进行调整后，得到以下初始堆：

60 18 45 14 7 26 13 32

接下来，进行堆排序的过程如下：

1. 将堆顶元素60与最后一个元素32交换位置，得到以下序列：`32 18 45 14 7 26 13 60`。
2. 将堆顶元素32向下调整堆，得到以下序列：`60 18 45 14 7 26 13 32`。
3. 将堆顶元素60与最后一个元素13交换位置，得到以下序列：`13 18 45 14 7 26 60 32`。
4. 将堆顶元素13向下调整堆，得到以下序列：`60 18 45 14 7 26 32 13`。

经过以上两趟排序和重建堆，得到的序列状态为：`60 18 45 14 7 26 32 13`。

相关问题

对关键字序列(26, 18, 60, 14, 7, 45, 13, 32) 进行降序的堆排序，写出构建的初始堆及前两趟排序重建堆之后序列状态。

构建初始堆的过程如下：

                  26
                /    \
              18      60
             /  \    /   \
           14   7  45   13
          /  \
         32  ...

第一趟排序，将堆顶元素 26 与最后一个叶子节点 32 交换位置，然后将剩余元素重新构建成一个最大堆：

                  32
                /    \
              18      60
             /  \    /   \
           14   7  45   13
                 /
                26

第二趟排序，将堆顶元素 32 与最后一个叶子节点 13 交换位置，然后将剩余元素重新构建成一个最大堆：

                  60
                /    \
              18      45
             /  \    /   \
           14   7  26   13

因此，排序后的关键字序列为：(60, 45, 26, 18, 14, 13, 7, 32)。

. 已知关键字序列为{2,7,4,3,1,9,10,5,6,8}，采用堆排序法对该序列作升序排序时，构造的初始堆是什么？为什么

### 回答1：
采用堆排序法对该序列作升序排序时，构造的初始堆为一个最小堆。堆排序算法的第一步是将原序列构建成一个最小堆，然后将堆顶元素（即最小元素）与堆的最后一个元素交换，然后重新调整堆的结构，使得剩余元素仍然构成最小堆。重复执行此过程，直到所有元素都被排序完毕。

对于给定的关键字序列{2,7,4,3,1,9,10,5,6,8}，构造最小堆的过程如下：

1. 将第一个元素 2 插入堆中，此时堆为空，2成为堆顶元素。
2. 将第二个元素 7 插入堆中，7与2比较，不满足最小堆的性质，需要交换位置，此时堆中元素为{7,2}，2成为堆顶元素。
3. 将第三个元素 4 插入堆中，4与2比较，不满足最小堆的性质，需要交换位置，此时堆中元素为{4,7,2}，2成为堆顶元素。
4. 将第四个元素 3 插入堆中，3与2比较，不满足最小堆的性质，需要交换位置，此时堆中元素为{3,7,2,4}，2成为堆顶元素。
5. 将第五个元素 1 插入堆中，1与2比较，满足最小堆的性质，不需要交换位置，此时堆中元素为{1,3,2,4,7}，1成为堆顶元素。
6. 将第六个元素 9 插入堆中，9与1比较，不满足最小堆的性质，需要交换位置，此时堆中元素为{2,3,9,4,7,1}，1成为堆顶元素。
7. 将第七个元素 10 插入堆中，10与1比较，不满足最小堆的性质，需要交换位置，此时堆中元素为{1,3,9,4,7,10,2}，1成为堆顶元素。
8. 将第八个元素 5 插入堆中，5与1比较，满足最小堆的性质，不需要交换位置，此时堆中元素为{1,3,5,4,7,10,2,9}，1成为堆顶元素。
9. 将第九个元素 6 插入堆中，6与1比较，满足最小堆的性质，不需要交换位置，此时堆中元素为{1,3,5,4,7,10,2,9,6}，1成为堆顶元素。
10. 将最后一个元素 8 插入堆中，8与1比较，满足最小堆的性质，不需要交换位置，此时堆中元素为{1,3,5,4,7,10,2,9,6,8}，1成为堆顶元素。

最终得到的最小堆为{1,3,5,4,7,10,2,9,6,8}。

### 回答2：
堆排序法是一种基于二叉堆结构的排序算法。在堆排序中，首先需要构建一个最大堆（或最小堆），然后将堆顶元素与堆的最后一个元素进行交换，并调整剩余元素使其满足堆的性质，重复此过程直到堆为空，最终得到一个升序排序的序列。

对于给定的关键字序列{2,7,4,3,1,9,10,5,6,8}，采用堆排序法时，构造的初始堆为最大堆。最大堆是以数组表示的完全二叉树，满足父节点的关键字大于或等于其孩子节点的关键字。

构造最大堆的过程如下：
1. 将关键字序列依次插入最大堆中，并保持堆的性质。
初始时，堆为空，开始插入关键字。首先将2插入堆中，此时堆中只有2一个元素，无需进行调整。然后将7插入堆中，此时7的父节点为2，关键字大于父节点，需要将7与2进行交换。交换后堆的结构为{7,2}，满足最大堆的性质。依次类推，将4,3,1,9,10,5,6,8插入堆中，并调整堆的结构。

2. 调整堆的结构，使其满足最大堆的性质。
从最后一个非叶子节点开始，依次向上调整每个节点，确保该节点与其子树满足最大堆的性质。在本例中，最后一个非叶子节点是父节点为2的节点。通过调整，得到最大堆的结构。

最终构造的初始堆为{10,8,9,6,7,4,5,2,3,1}。其中，堆顶元素为10，是堆中的最大元素。

构造初始堆时，首先将关键字序列依次插入堆中，保持堆的性质。然后通过调整堆的结构，确保父节点的关键字大于或等于其孩子节点的关键字。这样得到的堆满足最大堆的性质，可以进行堆排序。

### 回答3：
使用堆排序法对该序列进行升序排序时，构造的初始堆是最大堆。

最大堆是一种完全二叉树，其中任意一个父节点的值都大于（或等于）其左右孩子节点的值。根据堆排序的特性，需要构建一个初始的最大堆，才能正确进行排序。

首先将给定的关键字序列{2,7,4,3,1,9,10,5,6,8}依次插入空堆中，插入的顺序是从左至右，从上至下。
第一个元素2为根节点，插入后依次为：{2}。

第二个元素7大于2，插入后调整堆的结构，调整后的堆为：{7,2}。

第三个元素4小于7，插入后调整堆的结构，调整后的堆为：{7,2,4}。

第四个元素3小于7，插入后调整堆的结构，调整后的堆为：{7,2,4,3}。

第五个元素1小于7，插入后调整堆的结构，调整后的堆为：{7,2,4,3,1}。

第六个元素9大于所有已有元素，插入后调整堆的结构，调整后的堆为：{9,7,4,3,1,2}。

第七个元素10大于所有已有元素，插入后调整堆的结构，调整后的堆为：{10,9,4,7,1,2,3}。

依次类推，直至将所有的关键字插入堆中，最终构造的初始堆为：{10,9,4,7,1,2,3,5,6,8}。

因此，在使用堆排序法对给定序列进行升序排序时，构造的初始堆是{10,9,4,7,1,2,3,5,6,8}，它是一个最大堆。