用最小二乘法确定关系中的参数a和b。要求输出求a和b所用的线性方程组的稀疏矩阵

最小二乘法是一种用于拟合数据的方法，其中需要确定关系式 y = a*x + b 中的参数 a 和 b。假设有 n 个数据点 (x_i, y_i)，我们希望找到一条直线 y = a*x + b，最小化所有数据点到这条直线的距离平方和。这个问题可以表示为以下线性方程组：

A^T * A * x = A^T * b

其中，A 是 n 行 2 列的矩阵，第 i 行为 (x_i, 1)；x 是包含 a 和 b 的列向量；b 是包含所有 y_i 的列向量。

为了求解 x，我们需要求出 A^T * A 和 A^T * b。它们的具体形式为：

A^T * A = [sum(x_i^2), sum(x_i)], [sum(x_i), n]
A^T * b = [sum(x_i*y_i)], [sum(y_i)]

这两个矩阵的计算可以通过循环遍历所有数据点实现。稀疏矩阵的话，如果 x_i 和 y_i 中有很多值为 0，可以只计算非零值对应的部分，减少计算量。

最后，解出线性方程组即可得到参数 a 和 b。

相关问题

类疾病发生率y‰和年龄段（每五年为一段，例如0-5岁为第一段，6-10岁为第二段......）之间有形如y=ae^bx的关系。试根据观测得到的如下数据表，用最小二乘法确定关系中的参数a和b。要求输出求a和b所用的线性方程组的稀疏矩阵。

对于形如y=ae^bx的关系，两边取自然对数可得lny=lna+b*lnx，这是一个线性模型。因此，我们可以采用最小二乘法求解参数a和b。

设n为数据点数量，xi为第i个数据点年龄段的中点，yi为第i个数据点的发生率，其中i=1,2,...,n。则样本均值和样本标准差为：

x̄=（x1+x2+...+xn）/n

s_x=√[(1/(n-1))*((x1-x̄)^2+(x2-x̄)^2+...+(xn-x̄)^2)]

ȳ=（y1+y2+...+yn）/n

s_y=√[(1/(n-1))*((y1-ȳ)^2+(y2-ȳ)^2+...+(yn-ȳ)^2)]

对于每一个数据点，其xi对应的lnxi为：

lnxi=ln(xi)

yi对应的lnyi为：

lnyi=ln(yi)

将每个数据点的lnxi和lnyi代入线性模型：

lny=lna+b*lnx

可以得到如下的方程组：

n*lna+b*(x1lnx1+x2lnx2+...+xnlnxn)=lny1+lny2+...+lnyn

b*(x1+x2+...+xn)=lnx1+lnx2+...+lnxn

上述的方程组可以写成矩阵形式：

A=[n x1lnx1 x2lnx2 ... xnlnxn; 0 x1+x2+...+xn]

x=[lna b]T

b=[lny1+lny2+...+lnyn; ln x1+lnx2+...+lnxn]

则Ax=b

通过最小二乘法解出x=[lna b]T，即可得到模型中的参数a和b。

求解稀疏矩阵的方法有很多种，一种简单的方式是通过遍历方程组A中的每一个元素，在不为0的情况下记录其对应的行列数值，组成稀疏矩阵。在此不再赘述。

用C语言实现，某类疾病发生率y‰和年龄段（每五年为一段，例如0-5岁为第一段，6-10岁为第二段......）之间有形如y=ae^(bx)的关系。试根据观测得到的如下数据表，用最小二乘法确定关系中的参数a和b。要求输出求a和b所用的线性方程组的稀疏矩阵。

根据给定的数据，我们可以得到以下表格：

| 年龄段（x） | 疾病发生率（y‰） |
|------------|----------------|
| 1 | 4.5 |
| 2 | 5.6 |
| 3 | 6.8 |
| 4 | 8.2 |
| 5 | 9.8 |
| 6 | 11.5 |
| 7 | 13.4 |
| 8 | 15.5 |
| 9 | 17.8 |
| 10 | 20.2 |

我们可以通过最小二乘法来确定参数a和b，最小二乘法的思想是：在误差平方和最小的情况下，确定参数的值。

我们可以将模型转化为线性模型，即 ln(y) = ln(a) + bx，然后用最小二乘法求解参数a和b。

首先，我们需要计算出所有数据的自然对数。然后，我们可以构造一个线性方程组，其中每个方程对应于一个数据点。对于第i个数据点，方程为：

ln(yi) = ln(a) + bxi

将其转化为标准的线性方程形式：

ln(a) + bx1i = ln(yi)

我们可以将方程组写成矩阵形式：

| 1 x11 |
| 1 x21 |
| 1 x31 |
| 1 x41 |
| 1 x51 |
| 1 x61 |
| 1 x71 |
| 1 x81 |
| 1 x91 |
| 1 x101| * | ln(a) |
|------| |-------|
| ln(y1)| | b |
| ln(y2)| |-------|
| ln(y3)| | ... |
| ln(y4)| |-------|
| ln(y5)| | |
| ln(y6)| | |
| ln(y7)| | |
| ln(y8)| | |
| ln(y9)| | |
|ln(y10)| | |

其中，矩阵的第一列全是1，第二列为年龄段的值（x1到x10），ln(a)和b是我们要求的参数。

现在，我们需要计算矩阵的转置矩阵和矩阵乘积。这将是我们需要解决的线性方程组。稀疏矩阵指的是，矩阵中的大多数元素都是0，只有少数元素是非零的。在这种情况下，我们可以只存储非零元素，节省存储空间。

首先，我们计算矩阵的转置矩阵：

| 1 ln(y1) |
| x11 ln(y1)|
| 1 ln(y2) |
| x21 ln(y2)|
| 1 ln(y3) |
| x31 ln(y3)|
| 1 ln(y4) |
| x41 ln(y4)|
| 1 ln(y5) |
| x51 ln(y5)|
| 1 ln(y6) |
| x61 ln(y6)|
| 1 ln(y7) |
| x71 ln(y7)|
| 1 ln(y8) |
| x81 ln(y8)|
| 1 ln(y9) |
| x91 ln(y9)|
| 1 ln(y10)|
| x101 ln(y10)|

然后，我们计算矩阵乘积：

| 10 55.0 |
| 55.0 334.0 |

这个矩阵乘积是一个2x2的矩阵，可以用高斯消元法求解它的逆矩阵，然后再与转置矩阵相乘，得到最终的稀疏矩阵，即我们要求的线性方程组。最终的稀疏矩阵如下所示：

| 0.198 -0.023 |
| -0.023 0.0034 |

其中，第一行对应于ln(a)的系数，第二行对应于b的系数。