对一个速率为入的柏松过程，当s＜t时，计算P｛N(s)=k/N(t)=n｝

对于速率为 $\lambda$ 的泊松过程，时间区间 $(0,t]$ 内发生 $N(t)$ 次事件的概率为：

$$P \{ N(t) = n \} = \frac{(\lambda t)^n}{n!} e^{-\lambda t}$$

因此，在时间区间 $(0,s]$ 内发生 $N(s)=k$ 次事件，在时间区间 $(0,t]$ 内发生 $N(t)=n$ 次事件的条件概率为：

$$P \{ N(s) = k, N(t) = n \mid N(t) \geq k \} = \frac{P \{ N(s) = k, N(t) = n \}}{P \{ N(t) \geq k \}}$$

由独立增量的性质可知，$N(t)-N(s)$ 与 $N(s)$ 独立，因此：

$$P \{ N(s) = k, N(t) = n \} = P \{ N(t) - N(s) = n-k, N(s) = k\}$$

$$= P \{ N(t)-N(s) = n-k\} \cdot P \{ N(s) = k\}$$

$$= \frac{\{(\lambda(t-s))^{n-k}/(n-k)!\} e^{-\lambda(t-s)} \cdot (\lambda s)^k e^{-\lambda s}}{P \{ N(t) \geq k \}}$$

因此，所求概率为：

$$P\{ N(s) = k/N(t) = n\} = \frac{P \{ N(s) = k, N(t) = n \}}{P \{ N(t) = n \}}$$

$$= \frac{\{(\lambda(t-s))^{n-k}/(n-k)!\} e^{-\lambda(t-s)} \cdot (\lambda s)^k e^{-\lambda s}}{(\lambda t)^n/n!}$$

$$= \frac{n!}{(n-k)!k!} \cdot \left( \frac{s}{t} \right)^k \left( 1 - \frac{s}{t} \right)^{n-k}$$

这就是所求的概率。