牛顿迭代法求出非线性方程6X^5-45X^2+25=0 的所有根，并使误差不超过 10^-4

牛顿迭代法是一种用于寻找函数零点的有效数值方法，对于非线性方程 \( f(x) = 6x^5 - 45x^2 + 25 = 0 \)，我们遵循以下步骤：

1. 首先，选择一个初始猜测值 \( x_0 \)。例如，我们可以从该方程可能的实数解附近的一个估计值开始，比如 \( x_0 = 0 \) 或 \( x_0 = 1 \)。

2. 定义迭代公式：
\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]
对于这个方程，\( f'(x) \) 是 \( f(x) \) 的导数，即 \( f'(x) = 30x^4 - 90x \)。

3. 计算 \( f(x_n) \) 和 \( f'(x_n) \)，然后更新 \( x_{n+1} \)，直到满足精度条件 \( |f(x_{n+1})| < 10^{-4} \)。

以下是使用 Python 编程实现牛顿迭代法的过程：

def f_function(x):
    return 6 * x**5 - 45 * x**2 + 25

def df_function(x):
    return 30 * x**4 - 90 * x

def newton_raphson_method(x0, tolerance=1e-4):
    while True:
        fx = f_function(x0)
        if abs(fx) < tolerance:
            break
        dfx = df_function(x0)
        if dfx == 0:
            print("警告：函数在当前点导数为0，无法继续迭代")
            break
        x0 -= fx / dfx
    return x0

# 初始化
x0 = 0
solution = newton_raphson_method(x0)
solution

运行此代码会找到一个近似解。由于牛顿迭代法可能会收敛到局部极小值，为了找到所有的根，可能需要尝试不同的初始点并应用其他数值方法，如二分法或多值方法。