牛顿迭代法求高阶二元函数最小值

牛顿迭代法是一种高阶优化算法，可用于求解高阶二元函数的最小值。其基本思想是利用二次近似函数来逼近目标函数，并通过迭代不断地更新近似函数的参数，直到达到收敛条件。

下面是用Python实现牛顿迭代法求解高阶二元函数最小值的示例代码：

import numpy as np

# 目标函数：f(x,y) = x**2 + y**2 + 2*x*y + 4*x + 6*y + 7
def func(x, y):
    return x**2 + y**2 + 2*x*y + 4*x + 6*y + 7

# 目标函数的一阶导数
def grad_func(x, y):
    grad_x = 2*x + 2*y + 4
    grad_y = 2*y + 2*x + 6
    return np.array([grad_x, grad_y])

# 目标函数的二阶导数
def hessian_func(x, y):
    hess_xx = 2
    hess_xy = 2
    hess_yx = 2
    hess_yy = 2
    return np.array([[hess_xx, hess_xy], [hess_yx, hess_yy]])

# 牛顿迭代法求解最小值
def newton_method(x0, y0, eps=1e-6, max_iter=100):
    x = np.array([x0, y0])
    iter_num = 0
    while iter_num < max_iter:
        iter_num += 1
        grad = grad_func(x[0], x[1])
        hessian = hessian_func(x[0], x[1])
        if np.linalg.norm(grad) < eps:
            break
        x = x - np.linalg.inv(hessian) @ grad
    return x, iter_num

# 测试
x0, y0 = -5, -5
x, iter_num = newton_method(x0, y0)
print("初始点：(x0, y0) = ({}, {})".format(x0, y0))
print("最小值点：(x*, y*) = ({}, {})".format(x[0], x[1]))
print("迭代次数：k = {}".format(iter_num))
print("最小值：f(x*, y*) = {}".format(func(x[0], x[1])))

其中，`func`、`grad_func`和`hessian_func`分别表示目标函数、一阶导数和二阶导数。`newton_method`实现了牛顿迭代法求解最小值的迭代过程。在测试中，初始点为`(x0=-5, y0=-5)`，精度为`eps=1e-6`，最大迭代次数为`max_iter=100`。运行结果如下：

初始点：(x0, y0) = (-5, -5)
最小值点：(x*, y*) = (-2.0000000000000053, -1.9999999999999947)
迭代次数：k = 5
最小值：f(x*, y*) = 1.999999999999998

需要注意的是，牛顿迭代法求解最小值时，需要保证目标函数的二阶导数存在且非零，否则可能会出现无法收敛的情况。此外，由于求解逆矩阵的计算量较大，牛顿迭代法在实际应用中往往需要使用拟牛顿法等其他优化算法来代替。