matlab牛顿迭代法求多元函数极小值

Matlab中的牛顿迭代法（Newton-Raphson Method）是一种常用的数值优化技术，用于寻找多元函数的局部最小值。该方法基于函数的梯度和Hessian矩阵（二阶导数），通过迭代更新当前点来逼近最小值。以下是使用Matlab的基本步骤：

1. **选择初始点**：首先需要一个初始估计的解向量，它可能是随机选取、用户指定或者其他算法得到的。

2. **计算梯度**：对目标函数求偏导数，得到每个变量的方向导数，也就是梯度向量。

3. **构建Hessian矩阵**：如果目标函数是可微分的，可以计算其所有二阶偏导数构成的Hessian矩阵。

4. **迭代公式**：应用牛顿迭代公式，即`x_new = x_old - H^-1 * g`，其中`x_new`是下一个猜测点，`x_old`是当前点，`g`是梯度向量，`H^-1`是Hessian矩阵的逆。

5. **检查收敛条件**：如果满足停止准则（如梯度或Hessian变化足够小，或者达到最大迭代次数），则认为找到局部最小值；否则继续迭代。

6. **迭代直到收敛**：不断重复上述步骤，直到达到预设的精度标准。

function [x_min, f_min] = newtonMinimization(f, gradf, hessian, initialGuess, options)
% f: 目标函数
% gradf: 梯度函数
% hessian: Hessian矩阵函数
% initialGuess: 初始猜测解
% options: 迭代选项（例如最大迭代次数，精度等）

[x, f_val] = newton_descent(f, gradf, hessian, initialGuess, options);
x_min = x; % 最终估计的最小值点
f_min = f_val; % 对应的函数值
end

function [x, f_val] = newton_descent(f, gradf, hessian, x0, opt)
% 实现牛顿迭代的核心部分
% ... (详细迭代代码)

% 初始化
x = x0;
options.iterations = opt.maxIterations;
epsilon = opt.epsilon;

while true
    % 更新步长
    dx = -inv(hessian(x)) * gradf(x);

    % 新位置
    x_new = x + dx;

    % 检查收敛
    if norm(dx) < epsilon || abs(f(x_new) - f(x)) < epsilon
        break;
    end

    % 更新
    x = x_new;
end

f_val = f(x); % 计算最终函数值
end