非正则最小二乘法求解具体问题的例子

假设有一个数据集，包含了一些房屋的面积和价格信息。现在我们想要用一个线性模型来预测房屋的价格。我们可以使用非正则最小二乘法来拟合这个模型。

首先，我们需要定义模型的假设函数。假设我们的模型是一个一次函数，形式为 $h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1 x$，其中 $\theta_0$ 和 $\theta_1$ 是模型的参数。

接下来，我们需要确定一个损失函数来度量模型的误差。我们可以使用最小二乘法的思想，将损失函数定义为所有样本的误差平方和，即：

$J(\theta_0, \theta_1) = \sum_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})^2$

其中 $m$ 是样本数，$x^{(i)}$ 和 $y^{(i)}$ 分别是第 $i$ 个样本的特征和标签。

为了使用非正则最小二乘法，我们需要对损失函数进行优化。我们可以通过求解损失函数的梯度来找到最优解。梯度可以表示为：

$\nabla J(\theta_0, \theta_1) = \begin{bmatrix} \frac{\partial J}{\partial \theta_0} \\ \frac{\partial J}{\partial \theta_1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) \\ \sum_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) x^{(i)} \end{bmatrix}$

我们可以使用梯度下降法来最小化损失函数。具体来说，我们可以反复迭代更新模型参数 $\theta_0$ 和 $\theta_1$，直到损失函数收敛为止。更新规则可以表示为：

$\begin{aligned} \theta_0 &:= \theta_0 - \alpha \frac{\partial J}{\partial \theta_0} \\ \theta_1 &:= \theta_1 - \alpha \frac{\partial J}{\partial \theta_1} \end{aligned}$

其中 $\alpha$ 是学习率，控制着每次更新的步长大小。

最终，我们可以得到一个拟合好的模型，可以用来预测新的房屋价格。