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手眼标定问题中的最小二乘法噪声校准解决方案及算法研究
1手眼标定问题AmitDek el LinusHärenstam-Nielsen SergioCaccamoUnivrses{amit.dekel,linus. arengland,sergio.caccamo}@ univrses.com摘要我们提出了一个最小二乘公式的噪声手眼校准问题使用双四元数,并介绍了有效的算法来找到精确的最优解,基于问题的分析性质,避免非线性优化。我们进一步提出了简单的分析近似的解决方案,提供了非常好的估计相比,精确的解决方案。此外,我们展示了如何推广我们的解决方案,以考虑到成本函数中给定的据我们所知,我们的算法是最有效的方法来最佳地解决手眼校准问题。1. 介绍手眼标定是计算机视觉中的一个常见问题,人们希望找到两个刚性连接的框架之间的转换这个问题的一个流行的公式是下面的方程C其中,nC,nH,X是SE(3)元素,n是群乘法运算[1]。 C和H代表源相对姿态(例如,相机和机器人手),X是两个帧之间的刚性变换在文献中,人们可以找到大量的策略来解决给定的一组姿势的问题,以及使用不同的表示和度量,参见[2,3]的最新评论。由于SE(3)群是特殊正交群和平移群的半直积(SO(3)<$T(3)),从(1)开始,通常会得到两个方程,我们称之为旋转方程(正规子群的商)和平移方程(正规子群)。在实际应用中,由于噪声数据的存在,这些方程不能完全满足,通常采用数值最小化方法或近似方法。一些作者通过首先最小化与旋转方程相关的项,然后将解代入图1:两个刚性连接的摄像机的手眼校准问题。平移方程,并依次最小化该项,其中可以找到封闭形式的解[4,5,6]。其他人试图同时减少这两个方面。在后一种情况下,一种方法是执行(受约束的)非线性优化过程以最小化成本函数,该成本函数考虑了某些表示和指定度量中的两个项(旋转和平移部分)该过程在计算方面成本更高,并且需要适当的初始估计以避免局部最小值[6,7,8]。根据对偶四元数(或等效的几何代数)[9],[10]提出了一种线性同时解,其目的是解决(1)而不是最小化问题,适用于无噪声情况,或需要对数据进行滤波。如上所述,对于最小化问题可以使用不同的度量,通常与所选择的表示或噪声模型假设有关。对于旋转部分,常见的(非等价的[11])选择是弦度量、四元数度量或测地线度量。类似地,可以对平移部分使用不同的最小化项此外,旋转和平移项具有不同的单位,并且应当使用适当的相对加权。一个自然的选择是测量的协方差,这并不总是可用的。在本文中,我们解决问题的同时最小化使用双四元数(DQ)表示。解析求解极小化问题的困难是由于非线性约束。使用DQ,1359813599XHiXHiXCiCiHiX可以根据DQ d.o.f.构造二次成本函数。它们受到非线性约束,四元数的虚部和实部。一般[R|T]变换可以表示为不可避免地使问题高度非线性。1′我们的方法是添加约束作为两个拉格朗日乘子项,并研究其解析性质。这两个Lagrange乘子由一个多项式p(λ,μ)联系起来,p( λ,μ)在μ中为8阶,在λ中为4阶,具有一些特殊的性质。在实数上,多项式定义了四条曲线λi(µ),最优解对应于最小λ曲线的鞍点dλ/dµ= 0因此,我们的策略是有效地找到这个特殊的点在拉格朗日乘数空间。我们提出了几个不等价的方法来找到最优解,以及一个层次的分析近似,表现非常好。我们明确地展示了如何扩展我们的算法时,增加了一个前的问题,允许最大后验(MAP)分析,或正则化退化的情况下(例如。平面运动)。我们使用合成和真实数据进行了几次实验,并将我们的算法与其他可用的方法和非线性优化进行了比较,结果表明我们的算法确实找到了最优解。本文的组织结构如下:我们初步建立了SE(3)群与单位DQ之间的联系。然后,我们用公式表示手眼校准问题,Q=T<$R=R+<$(→a,0)<$R<$q+<$q.(二)2一个关于DQ的方程总是可以分成两个方程,一个是3. 基于双四元数的手眼标定问题手眼校准问题可以使用以下方程CiN,( 3)式中,C i和H i是两个刚性连接源的相应相对姿态(见图2)。1),从现在开始我们将其缩短为C i和Hi。使用DQ表示,方程可以写为[9]Q Ci <$Q X= Q X<$Q Hi,i=1,.,N,(4)更明确地说,DQ,并介绍了最小化问题。事后我们讨论了成本函数的性质,并提出了qCi 第十章=qX<$qHi, i=1,.,N,解决问题的算法接下来,我们扩展qCi 拉克′<$qX=qX<$q′+q′(5)酒店预订网公式包括在先术语。在最后一节中,我们提出了我们的实验和文献中的其他现有方法的比较,以及讨论和结论。一些技术细节和更详细的实验结果被归入附录。2. SE(3)对偶四元数表示我们把原始和对偶部分分成两个方程。接下来,我们使用q<$p<$L(q)p<$R(p)q将四元数乘法转换为矩阵乘法,其中q和p被视为RHS上的实四维向量,L,R是4 ×4矩阵,我们得到(L(qCi)−R(qHi))qX=0,i=1,.,N,(6). L(q′Ci)−R(q′)qX+(L(qCi)−R(qHi))q′=0。在本文中,我们使用双四元数表示的为了简化符号,我们定义Ai<$L(qC)−R(qH),SE(3)组。组元素是使用对偶四元数是普通四元数的和BiL(q′我我)−R(q′)和q<$qX,q′<$q′,所以我们有和一个对偶部分,它是一个普通的四元数乘以对偶数,其中,2=0,见例子[12,9]。SE(3)可用单位DQ,Q=q+<$Q′表示,其中Q<$Q<$= 1,其中q,q′∈H,<$是四元数乘积,<$是通常的四元数共轭.就像奥尔迪-表示SO(3)的二元四元数双覆盖表示,我们确定Q−Q。单位DQ约束可以等效地写为:|Q|= 1和q·q′=0,其中q和q′被视为实四维向量,·是点积。明确地,旋转元素由R(kθ,θ)=(k∈sinθ,cosθ)其中k∈旋转轴,θ∈旋转+Q136002BAA i q= 0,B i q+A i q′= 0,i=1,.,N.(七)如[9]中所描述的,在无噪声的情况下,这些问题都可以得到解决。一个给定的d×8维向量(q,q′)在零空间中,一0 ,其中A和B分别是Ai和Bi的堆叠。此外,相对变换只能将螺杆轴线从一个框架改变到另一个框架,因此角度和螺距d.o.f.在[9]的处理中省略,这也允许减少Ai和Bi都是3×4矩阵,而不是4×4矩阵.在我们的分析中,我们倾向于不取消不变的螺旋参数,因为我们通常期望噪声数据,并且这些2 2角,而通过向量→a的平移元素是giv en,T→a=(→0,1)+α1(→a,0)。我们的符号(→q,q0)指的是参数作为我们数据的相关权重,因此,我们使用完整的4 ×4矩阵。1360110.12Σ3.1. 最小化问题我们的下一步是定义最小化问题。一般来说,在存在噪声的情况下,(7)的RHS将不同于零。我们将最小化问题定义为(7)中两个方程残差的平方L2范数的同时最小化,即在这里我们引入符号ZS−WM−1WT , ZWM−1+M−1WT , ZM −1。(十三)第一约束方程|Q|2=1可以通过对解进行归一化而得到满足,而第二个约束q·q′= 0意味着:argminq,q′ΣNi=1|2+ α2|Bi q + A i q′|二、|2,1 qT Z qµ=。(十四)2 TZ2 q受制于:|Q|q·q ′= 1,q·q′= 0,(8)其中我们引入了一个固定维数的参数α ∈ R用1/长度单位,这可以解释不同的两个术语的单位。为了简单起见,我们将α视为固定的可调参数。更一般地,可以基于特定的测量在范数内使用协方差矩阵,而不改变我们的分析。考虑到对偶四元数公式,我们对成本函数的选择是自然的,但是可以在文献中使用SE(3)上的不同度量找到大量其他非等效选择,详细讨论参见[2]。3.1.1极小化方程在本节中,我们将更详细地介绍最小化问题首先,我们使用对应于两个约束的两个拉格朗日乘子来表示成本函数(8),虽然我们可以很容易地解决(12)作为一个给定的特征值问题,(14)通常不会得到满足。不幸的是,将(14)插入(12)导致高度非线性的问题。3.1.2极小化方程为了解决这个问题,注意(12)和(14)的一些性质是有用的。通过构造,矩阵Z(μ)是实数且对任何实数μ都是对称的,因此它的特征值是实数。我们进 一步 注意 到Z2 是 半正 定的 ( 因为 它是 AT A 的逆),Z01也是。考虑到这些性质,(12)中的特征值曲线λi(μ)(按其值排序的四个根中的每一个)一般不应在我们改变μ时相交,这是冯诺伊曼-维格纳定理2[13],[14]的结果。考虑这个问题的一个有用的方法是根据La- grange乘数参数空间,由(12)定义的实代数曲线给出Σ4p(λ,µ)= det(Z(µ)−λ)= λm c8−2m(µ)= 0,(15)Σ。ΣL=|阿iq|2+α2|Biq+Aiq′|2我+λ(1−q2)−2µq·q′m=0它是以λ为单位的4次多项式和以μ为单位的8次多项式,Cn(μ)是以μ为单位的n次实多项式(见图=qTSq+q′TMq′+2qTW q′+λ(1−q2)−2µq·q′,(9)其中λ和μ是拉格朗日乘子,S<$AT A+α2BT B,M=α2AT A,W<$α2BT A。最小化方程产生1L=Sq+Wq′−λq−µq′= 0,2个月q2)。函数λi(μ)可以用解析法求出,但它们的显式表达式并不很有启发性。约束q(μ)·q′(μ)= 0决定了曲线λi(μ)上的哪些点对应于解。一个关键的观察结果是,这些是λi(µ)的极值点。为了证明这一点,我们使用λ=qT Z(μ)q的事实,因此.1公升2q′=Mq′+WT q−µq= 0,(10)是的µ。溶胶=2qstecTZ(µ)q+qTZstec(µ)q(16)以及两个约束方程。这些方程意味着在解上L=λ在整个论文中,我们假设矩阵M是满秩的,这是输入数据有噪声的情况,否则可以沿着[9]的路线解析求解因此,我们有q′= M −1(µ − W T)q.(十一)在第一个方程中插入q′,.13602= 2λqstecTq−2qT M−1(µ−WT)q=−2qTq′,其中我们使用(12),所以我们在解上,q2= 1这意味着qstecTq= 0,点表示µ导数。1 注 意 Z0=ATA+α2BTCB , 其 中 C ( 14N×4N−A ( ATA )−1AT)是半正定的,有四个零特征值,其余的都是1。四个零特征值对应于A的列(注意,(ATA)−1AT是A的伪逆),然后由于A(ATA)−1AT的秩是4,其余的特征值将是1(对应于C的零空间中的向量)。2一般矩阵Z( µ)q=.ΣZ0+ µZ1− µ2 Z2 q=λq,(12)(由于噪声)在我们的问题中,当变化μ实际上为零时。我们在实验中也观察到了这种现象,见图2。2c.13603220因此,可以通过找到λ(μ)的极值点来解决这个问题,这等价于找到多项式p(λ,μ)和λμ p(λ,μ)的实交点,这又等价于找到μ中的8次多项式的重数,作为其λ相关系数的函数在任何一种情况下,这都等价于两个多项式p(λ,μ)和nμ p(λ,μ)w.r.t.的西尔维斯特矩阵(结果)的行列式的消失。λ或μ。在这两种情况下,结果都是一个变量的28次多项式。因此,手眼校准问题可以通过找到该多项式的最小实正λ根来最优地解决。然而,考虑问题的进一步性质允许以更有效的方式找到解决方案 我们注意到,|µ|(12)和(11)成为−µ2Z q<$λq,q′<$µZ q,(17)2.01.51.00.50.01.201.181.161.14(a) 典型λ(µ)1.51.00.50.0(b) 非典型λ(µ)0.20.10.00.1所以λi(|µ|)−µ2i其中,≥0是Z2的特征值.1.12类似地,Z(μ= 0)=Z0,这是PSD,所以λi(μ=0)≥0。将这两个观测结果与冯·诺伊曼-维格纳不相交定理结合起来,四个本征值λi(μ)中的每一个都必须至少两次穿过μ怎么-1.10(c) 非典型λ(µ)(放大)0.20.100.050.000.050.10(d) 典型f(µ)以往,Z(μ)q=0的解的数量以μ表示至多为8,因此我们得出结论,每个特征值λi(μ)恰好与μ轴相交两次,比如在μ10μ2处,<<则对于µµ2,二次渐近地趋于−∞和µµ1(可能有两个点合并的情况,我们在µ=0时得到一个解,这对应于无噪声情况)。接下来,我们改变我们的观点,考虑µ(λ)。我们已经确定了μ(λ= 0)的实数解的个数必须是8,这是解的最大个数。当我们增加λ时,实数解的数量可以保持不变,也可以减少一个偶数3。从8个到6个解的第一跳对应于λ(µ)的第一个最大值,这是我们问题的最小成本解此外,这必须对应于λi=0(μ)的最大值,因为否则μ多项式的实数解的数目将超过最大数目(8)。多个极值只允许用于较高λi>0的函数,参见2b。类似地,我们可以根据判别式寻找根多重性,因为λ(μ)的极值对应于图2:拉格朗日乘数空间。 下标λi(µ)和fi(µ)表示给定µ的第i个EV,按升序排列。最佳µ由µ和黑色虚线表示。 在(a)及(b)最优解对应于蓝色的最大值,线在(b)中,实根的数目从8开始,减少到6,4,然后增长到6,减少到4,2,最后到0。我们还看到能级排斥效应,其中本征值几乎相交,但最终彼此排斥,见(c)。 在(d)解中,μm对应于f0与μ轴的交点(与(a)中的数据相同)。3.2. 解决最小化问题在此基础上,介绍了求解极小化方程的各种策略,给出了精确解和近似解。1最优一维线搜索(DQOpt)这是我们提出的最简单的算法,它产生最优解。我们首先定义函数′1dλ0(µ)这样的点。f0(µ)<$q0(µ)·q0(µ)=−2、(十八)dµ综上所述,我们证明了函数λ0(μ),(12)的最小特征值,具有一个正的最大值,并且渐近地以μ为单位二次衰减。求最优解等价于求该函数的最大值,这是一个凸问题。[3]对于给定的λ,我们可以将特征值问题用非对称矩阵的μ重写为8 ×8特征值问题,所以一般来说μ的性质受到的约束较少,μ可以变得复杂。其中q0是Z(μ)的最小本征值,q′使用(11)计算。如上所述,这是一个具有唯一根的单调函数,见图2d。为了找到最优解,我们首先找到这个函数的根,f0(μπι)=0,并将q作为对应于Z(μπι)的最小特征值的特征向量,并使用(11)求解q′或者,我们可以直接寻找λ0(µ)的最大值,它对应于相同的解,见2a。我们进一步推导出替代算法,*=0.023310123101*=-0.000440123101*=-0.0004401230.1 0.0 0.1*=0.02331f0f1f2f3F136041T211Z一最优解,再次,仅使用基于结果和根计数的一维线搜索。这些算法产生其中q我们还介绍了速记符号Zab qTZi qb,Ia相同的最佳解决方案,但评估速度较慢以来它们在概念上非常不同,对这个问题提供了不同的看法,我们认为将它们纳入这项工作是有意义的。然而,由于我们将在整个论文中只使用上述最优解,因此我们将其描述归入附录B。2两步(DQ 2steps)在我们的公式中,两步近似,首先求解旋转首先求解q,以找到对应于最小特征值的特征向量,Mq=λ0q,( 19)相应的q′由下式给出:λ0a<$λ0− λ a,所有的和都在a = 1,2,3上运行。在规范化q(2)之后,我们使用(20)求解ve由于μ不是无量纲参数,因此可以预-fer在λ中展开,λ是无量纲的。我们可以从λ0= 0开始,这是无噪声情况下的解然而,这导致在求解(12)时出现以μ为单位的8次多项式,这使过程变得有点复杂相反,我们可以在松弛(μ = 0)解周围展开λ,因此λ= λ0+ λ,展开式是λλ,λ0对应于Z0的最小特征值。与前面的展开式相比,可以找到q的二阶展开式稍微详细一些,可以在附录中找到。A. 然后,如在先前的近似中,我们求解q′使用(20)。这种展开的结果与我们实验中的非线性展开的结果是相当的,尽管它们不是等价的q′=M−1. 1 q TZ q-W2qTZ2qΣQ.(二十)(两者都给出了非常准确的结果)。3.2.5迭代解(DQItr)3凸松弛(DQCovRlx)定义函数′1q(µ)TZ1q(µ)在这里,我们近似解,同时放松q·q=µ(µ)=2q(µ)TZq(µ),(24)0约束,然后将解投影到非凸约束空间使用(14),因此我们解决Z0q=λ0q,(21)而相应的q′又由(20)给出。我们也可以得到一个很好的表达式来限制间隙,c1(qT Z1q)2λ=λ−λ0=4qTZ q,(22)其中λc是约束解。也就是说,非凸问题的真实成本λ c满足λ0 ≤ λc≤ λ c。4二阶近似(DQ 2ndOrd)从松弛解(21)开始,对应于μ= 0(在无噪声情况下为真),我们可以得到小μ的解析展开式。附录A给出了以μ为单位的任意阶对偶四元数解的递归公式的详细推导由此产生的二阶近似产量2其中q(μ)是对应于(12)的最小特征值的特征向量,问题的解是固定点,即μπ(μ)=μ。 由于如前一节所述,μm(μ)是有界的,因此迭代估计μm并将值插回收敛到解。在实践中,这个过程收敛非常快,虽然它是不稳定的无噪声的情况下。3.3. 添加先验手眼校准问题并不总是很好地提出,例如在平面运动的情况下,一些d.o.f.不是固定的,并且可能需要正则化项来获得唯一解。此外,从统计模型的角度构建问题,因为MAP概率估计需要先验。因此,在我们的公式中加入一个在先项是有用的让我们假设我们有一些关于手眼校准的先验知识,即表示校准的单位对偶四元数接近于某个给定的1Z00Q. 我们定义Q=QδQ,使得δQ=δq+δq′为µm=1,(2)2Z00−(Za0)2与先验的偏差,预期是小的,′q= q2+微电子λ0aZa0Q.+µ2−1q Σ。a0Σ21即δQ<$1,或等价地δq<$1和δq<$0。因此,在本发明中,我们通过惩罚大δQ(2)0(二)一λ0aa(二)一1360520λ0aL先验 (q,q′)=L(q,q′)+a(1−δq)2+bδq′2,(25)Zb0Zaba0Z00Za0B11−Z2 −1 1其中a、b >0是恒定权重参数(注意,+λ0 bλ0 aQaaλ0a、(二十三)q和δq不是独立的)。 旋转项具有与δq线性相关。这个术语使我们的分析复杂化,13606其中特征值问题需要提升到8×8而不是我们之前的4×4问题,并且我们的矩阵失去了一些很好的性质。尽管如此,这种方法是有效的,并产生了良好的效果。然而,我们可以通过注意到以下几点来避免这些问题:|δq|=1,δq <$1相当于虚部很小。因此,我们改为修改(25),4.1. 合成实验我们的合成数据集由三种场景组成:- 随机-从SO(3)×E(3)中均匀采样。- 直线运动+小的三维扰动。- 圆-二维圆周运动+三维小扰动。相对位姿通过外在变换联系起来加上噪音。对于翻译,我们使用多变量-L先验=L + aδq TGδq + bδq′2,G =diag(1,1,1,0). (二十六)我们使用高斯噪声,而对于旋转,我们使用均匀的我们可以用最小化(9)的方法最小化这个成本,注意:δQ=QQ=L(q)q+(L(q′)q+L(q)q′)。(二十七)因此,这两个新项由下式给出:δqT Gδq= qTL<$T GL<$ q,δq′2=qTL′TL′q+ 2qTL′TLq′+q′Tq′为|q′|2qTq+2qTW<$q′+q′Tq′,(28)其中,W=−WT =L′TL=L(t)。 由于我 们的限制,术语|q′|2qTq是一个不改变成本函数的常数,因此我们可以忽略它(注意,这样做,成本函数就不能保证是正的,but由− b从below有界。|q′|2)。因此,我们可以用与(9)相同的方式求解(26),S→S+aLTGL,W→W+bW,M→M+b14×4。(二十九)请注意,对(9)的这些修改不会改变上面讨论的关于半正定性和对称性的矩阵性质。4. 实验在这项工作中,我们进行了两种实验。首先,我们比较我们的最优算法的结果与非线性优化实现,以表明我们的算法的结果在最优解。之后,我们比较我们的算法与其他算法的性能,真实和合成数据集。在这一节中,我们使用的算法,通过- tions介绍,在第 二 节 。 3 , 添 加 Dan[9] , 以 及 ChVecOpt 和QuatVecOpt,最小化轴上的S2分布和角度的高斯分布(更多细节可以在附录D中找到)。4.2. 真实数据实验我们从两个刚性连接的ZED摄像机记录了姿势,摄像机运行内置的视觉里程计。摄像机用手移动,创建一个一般的3D运动场景和三个近似平面的场景:一般的、直的和圆形的。由于跟踪算法的不准确性和时间同步问题,所收集的数据具有显著的噪声。有关数据采集过程和预过滤的更多详细信息,请参见附录D。4.3. 加权因子第二章中介绍了加权因子α3.1,取决于噪声模型。为了进行公平的比较,我们将α参数添加到所有算法实现中,参见(30),并通过将Dan的平移部分缩放α。我们为旋转和平移引入了αbest,这是分别在旋转和平移平均误差方面给出最佳结果地面真相请注意,这些值不一定对所有算法都相同,甚至对同一数据集也是如此。通过这种方式,我们以公平的方式对待所有算法,而不是设置一个值,这可能使某些算法比其他算法更受益。Σ。|2+ α 2|(R i − 1)T − R T i + Ti|2Σ,|2Σ,Σi.公司简介|qiq−qqi|2+α2|(Ri−1)T−RTi+Ti|2(三十)i C H C H Cw.r.t. R,T和q,T分别采用非线性优化最后,DQNLOpt和DQNLOptRnd分别表示用DQOpt和随机初始化的成本函数(9)的非线性优化。所有算法都是使用python和numpy和scipy优化包实现的,用于1D根查找。相对成本差异alg−DQOptalg+DQOptALG是说STDminMaxDQNLOpt六、3×10−18五、8×10−16-3。0×10−15二、8×10−15DQNLOptRnd六、8×10−2一乘二。1−14.第一章3× 10−128. 9× 10−1DQ2ndOrd六、6×10−10五、4×10−9-2。3×10−151 .一、3×10−7DQConvRlx二、7×10−57 .第一次会议。0×10−5二、15×10−12五、3×10−4DQ2Steps8. 4× 10−31 .一、6×10−2二、4×10−59 .第九条。7×10−2计时(µsec)ALG是说STDminMax13607表1:上表:DQOpt和我们的其他算法之间(有符号)相对差异的结果(2450次实际数据运行的平均值)。正值意味着竞争算法具有更高的成本函数。下表:算法的时间平均超过24500实际数据运行。13608图3:合成实验。我们比较了Dan和DQOpt在三种不同运动上的表现,显示了当相对姿态受到增加的旋转和平移噪声的影响时求解器的误差响应(第二节)。4.1)。热图显示了误差响应(第一行-旋转,第二行-平移)的平均比率(60次迭代)蓝色(红色)表示DQOpt与Dan相比具有e值乘以更低(更高)的误差。可以注意到DQOpt在退化运动(线性和圆形)上的表现如何显著优于Dan。对于3D情况(第3列),DQOpt和Dan都显示出高准确性(参见表2),并且误差比失去其显著性(即,两者都很好)。在最后一列中,我们比较了α= 1时的两个求解器。4.4. 最优性为了验证我们的算法找到了最佳的解决方案,我们比较其成本与非线性优化实现(使用scipy的最小二乘法),旨在最大限度地减少相同的成本函数的成本当运行非线性优化器时,我们用我们的解决方案和随机初始化它,以允许搜索不同的最小值,以防我们的算法最终陷入局部最小值。为了使我们的算法是最优的,非线性优化器在初始化时不应该改变解,并且在随机初始化时可能会找到更高成本的解结果总结在表1中,其中我们的算法总是返回一个较低的成本高达数值精度。我们进一步与我们的近似方法进行比较,以显示它们与全局最小值的接近程度。4.5. 定时我们将我们的最优解实现的运行时间与近似解和Dan[9]进行了比较,Dan [9]作为基准,因为众所周知它非常有效。结果显示在下表1中,按平均运行时间排序我们的最优算法被发现是3比丹慢。两个近似算法有点快,同时很好地近似了最优解。溶液,见上表1。非线性优化算法要慢得多,但我们没有报告它们的性能,因为我们没有优化它们的实现。5. 结论在本文中,我们介绍了一种新的方法来找到一个最佳的解决方案,手眼校准问题的基础上,双四元数制定。我们表明,我们的算法是保证找到全局最小值,只使用一维线搜索的凸函数。这提供了一个很大的优势,非线性优化方法,效率较低,是敏感的局部极小值。我们进一步介绍了一个层次的有效的解析近似解,提供非常接近的近似最优解。我们证明了我们的最优解是非常有效的,仅比Daniillem [9]的解析解慢3倍,并且我们的一些近似更快,同时为不适定情况提供了更好的估计(与最优解相当)。我们比较了我们的算法的性能与著名的分析解决方案Daniilbern和非线性优化的其他常见配方的问题,不同的成本函数,使用真实的和合成的噪声数据集。我们发现,所有提供最佳解决方案的方法在精度方面都是相当的,见表2. 然而,对于真实数据,我们发现我们的方法在旋转和平移方面的中值误差略低由于旋转方程的不适定性,两步法对于几乎平面运动的精度降低Danielle13609最佳平移α最佳旋转α最佳平移α最佳旋转αα算法εr(deg)3d运动εt(cm)αεr(deg)旋转εt(cm)αεr(deg)平面εt(cm)αεr(deg)线性εt(cm)αDQOpt2.03±0.735.32±1.951.476.91±5.455.05±3.080.202.55±0.4417.7±31.40.372.89±0.2226.3±10.51.14DQ2ndOrd2.03±0.735.32±1.951.476.91±5.455.05±3.080.202.55±0.4417.7±31.40.372.89±0.2226.3±10.51.14DQConvRlx2.00±0.765.32±1.951.476.95±5.395.05±3.100.202.53±0.7717.2±27.30.172.89±0.2325.9±10.81.04DQ2Steps3.26±1.245.27±2.05-17.0±13.27.59±4.12-7.17±6.7719.5±23.1-9.46±8.9243.9±45.8-丹[9]2.00±0.755.45±2.141.4711.4±9.9127.4±73.517.84.01±4.20565.±11321.9018.3±26.55801±43472.26ChVecopt2.08±0.745.96±1.792.477.22±5.0028.0±18.00.312.75±0.4445.3±22.44.132.95±0.2539.6±23.61.47QuatVecOpt2.04±0.815.71±2.060.817.37±5.0516.9±11.00.122.69±0.4145.8±23.01.002.95±0.2738.8±25.80.48DQOpt3.21±1.165.26±1.990.037.75±5.275.31±2.770.223.84±2.9218.5±21.10.053.37±0.3523.4±10.417.8DQ2ndOrd3.21±1.165.26±1.990.037.75±5.275.31±2.770.223.84±2.9218.5±21.10.053.37±0.3523.4±10.417.8DQConvRlx3.21±1.165.26±1.990.037.72±5.385.34±2.740.223.83±2.8918.4±21.10.053.35±0.3623.3±10.317.8DQ2Steps3.26±1.245.27±2.05-17.0±13.27.59±4.12-7.17±6.7719.5±23.1-9.46±8.9243.9±45.8-丹[9]2.36±0.945.14±2.073.1910.7±11.220.2±55.232.54.19±5.62270 ± 445。42.119.3±27.85208±380425.1ChVecopt3.20±1.145.88±1.840.0315.0±12.915.9±8.880.037.21±6.7718.5±15.20.015.74±1.4924.6±9.790.07QuatVecOpt3.17±1.145.69±1.930.139.82±8.0314.8±9.110.066.45±5.1219.9±13.50.014.94±1.4724.2±8.550.07α算法εr(deg)随机εt(cm)αεr(deg)圆形εt(cm)αεr(deg)线性εt(cm)αDQOpt0.0523±0.01620.1857±0.04870.266.29±2.1742.5±8.920.578.31±2.6345.3±8.940.62DQ2ndOrd0.0523±0.01620.1857±0.04870.266.29±2.1742.5±8.920.578.31±2.6345.3±8.940.62DQConvRlx0.0523±0.01620.1858±0.04870.266.25±2.2242.5±8.910.578.25±2.6645.3±8.980.62DQ2Steps0.0532±0.01710.1846±0.0591-9.02±3.2442.9±8.91-12.9±4.3046.2±8.47-丹[9]0.0524±0.01610.1889±0.05160.2617.0±7.93347.± 139.42.121.9±12.1499.± 242.29.9ChVecopt0.0491±0.01700.1783±0.05211.046.43±2.5345.6±9.010.578.65±2.5451.3±8.931.00QuatVecOpt0.0500±0.01480.1753±0.05030.266.60±2.1645.7±9.520.268.31±2.8550.5±9.070.34DQOpt0.0527±0.01710.1786±0.05550.246.56±2.1340.9±10.10.629.56±3.0345.0±8.341.14DQ2ndOrd0.0527±0.01710.1786±0.05550.246.56±2.1340.9±10.10.629.56±3.0345.0±8.351.14DQConvRlx0.0527±0.01710.1786±0.05540.246.55±2.1240.9±10.00.629.56±3.0345.0±8.501.14DQ2Steps0.0532±0.01710.1846±0.0591-9.02±3.2442.9±8.91-12.9±4.3046.2±8.47-丹[9]0.0599±0.02130.1809±0.05550.9617.0±7.93347.± 139.42.122.9±12.9497.± 263.21.2ChVecopt0.0506±0.01540.1689±0.05580.968.77±3.4730.9±11.40.0212.6±4.5334.0±10.50.01QuatVecOpt0.0514±0.01550.1719±0.05160.249.15±2.9530.4±10.30.0112.4±4.0934.3±10.20.02表2:真实和合成数据实验。我们给出了绝对旋转(测地线)和平移(欧几里得)误差(εr和εt)的误差分布的中位数和距离。我们根据不同类型的运动将结果分开。选择α值以给出最小旋转或平移平均误差。我们突出显示了每种运动类型的最佳中值结果和最佳旋转/平移α。请注意,它不一定表示显著性,通常不同的结果非常接近。DQ 2Steps不依赖于α,因此其估计值对于最佳旋转/平移α是相同的。不解决优化问题在相同的情况下显示出准确性的下降。我们还引入了一个先验公式,它不会改变我们的解决方案的效率和最优性。先验项可以帮助进行最大后验概率(MAP)分析,或正则化不适定场景的估计。其他推广,如增加权重或协方差,可以简单地纳入我们的公式。一般来说,我们发现,最佳的方法是更强大的几乎平面运动,然而,最好的表现方法将取决于给定的问题,这决定了残差分布的轨迹和噪声我们的方法具有提供与其他优化方法相当的良好结果的优点,同时非常有效。致谢这项研究是Zenuity计算机视觉研究项目的一部分。作者感谢Zenuity的资金和支持我们还要感谢埃内斯托·努内斯进行了有益的讨论。13610引用[1] 姚章绍及沙欣·艾哈迈德。通过求解形式ax= xb的齐次变换 方 程 来 校 准 手 腕 安 装 的 机 器 人 与 自 动 化 , IEEETransactions on,5(1):16[2] 桑德罗·埃斯基维尔眼对眼校准:使用手眼校准方法对多相机系统进行外部2015.[3] 放大图片作者:Mili Shah.Eastman和Tsai Hong。用于评估感知系统的机器人传感器校准方法概述在智能系统性能优化研讨会论文集,PerMIS'12,第15-20页,美国纽约州纽约市,2012年。ACM。[4] 罗杰Tsai和Reimer K.伦茨一种完全自主和高效的3d机器人手眼校准新技术在第四届机器人研究国际研讨会论文集,第287麻省理工学院出版社.[5] Frank Chongwoo Park和Bryan J.马丁机器人传感器校准:在欧氏群上求解ax=xb。IEEE Trans. Robotics andAutomation,10:717[6] Radu Horaud和Fadi Dornaika。手眼校准。国际机器人研究杂志,14(3):195-210,1995。[7] 杰克角K. Chou和M.卡梅尔用四元数求机器人操纵器上传感器的位置和方向国际机器人研究杂志,10(3):240[8] 克劳斯·H Strobl和Gerd Hirzinger。最佳手眼校准。2006年IEEE/RSJ智能机器人和系统国际会议,第4647-4653页[9] 科斯塔斯·丹尼利迪斯使用双四元数的手眼校准。I. J.Robotics Res. ,18:286[10] Eduardo Bayro-Corrochano , Kostas Daniilbane , andGerald Sommer. 3D运动学的电机代数:手眼校准的情况 。 Journal of Mathematical Imaging and Vision , 13(2):79[11] Richard Hartley , Jochen Trumpf , Yuchao Dai , andHongdong Li. 旋 转 平 均 。 International Journal ofComputer Vision,103(3):267[12] Y. B. 贾对偶四元数。 Com S 477/577,2015年秋季,课程讲义,2013年。 http://www.hkj.com cs.iastate.edu/cs577/. 访问日期:2017年1月30日。,2017年。[13] J. v关于Neuman和E. 维格纳。我们需要一个独特的地方。这是一个非常好的例子. Physikalische Zeitschrift,30:467-470,1929.[14] Peter D.放松线性代数及其应用。Wiley- Interscience,Hoboken,NJ,第二版,2007年。[15] 詹姆斯·阿尔沃图形宝石iii.章节快速随机旋转矩阵,第117Academic Press Professional,Inc.San Diego,CA,USA,1992.
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