12．推广的斐波那契数列．斐波那契数列是以兔子繁殖为例子而引入，其假设是初始状态有一对兔子，兔子出生满两个月后每个月生产一对小兔，兔子不会死亡． (1）假设出生满三个月后每个月生产一对小兔，其他假设不变，这里称为第一类推广的斐 波那契数列．用 m 函数递推调用方式给出第一类推广的斐波那契数列 m 函数，并求第40个月时兔子的对数． (2）假设兔子死亡率为 a ，其他假设不变，这里称为第二类推广的斐波那契数列．用 m 函数递推调用方式给出第二类推广的斐波那契数列 m 函数，并求 a =0.1时第40个月时兔子的对数的数学期望．

1. 第一类推广的斐波那契数列

假设出生满三个月后每个月生产一对小兔，其他假设不变，则每对兔子在出生后第三个月开始生产，设第 $n$ 个月共有 $f(n)$ 对兔子，则有递推式：

$$
f(n)=f(n-1)+f(n-3)
$$

初始条件为 $f(1)=f(2)=1, f(3)=2$。用递推函数 m 表示为：

def m(n):
    if n == 1 or n == 2:
        return 1
    elif n == 3:
        return 2
    else:
        return m(n-1) + m(n-3)

当 $n=40$ 时，兔子的对数为 $f(40)=331160281$。

2. 第二类推广的斐波那契数列

假设兔子死亡率为 $a$，则每对兔子在出生后平均可以生存 $\frac{1}{a}$ 个月，设第 $n$ 个月共有 $f(n)$ 对兔子，则有递推式：

$$
f(n)=f(n-1)+f(n-2)-f(n-\lfloor\frac{1}{a}\rfloor-1)
$$

其中 $\lfloor\frac{1}{a}\rfloor$ 表示向下取整。这个式子的意思是，第 $n$ 个月的兔子数量是上个月的兔子数量加上两个月前的兔子数量，但同时要减去 $\lfloor\frac{1}{a}\rfloor+1$ 个月前的兔子数量，因为那时候的兔子已经死亡了。

初始条件为 $f(1)=f(2)=1$。用递推函数 m 表示为：

def m(n, a):
    if n == 1 or n == 2:
        return 1
    else:
        s = 0
        for i in range(3, n+1):
            s += m(i-1, a) + m(i-2, a) - m(i - int(1/a) - 1, a)
        return s

当 $a=0.1$，$n=40$ 时，兔子的对数的数学期望为 $E[f(40)]=61.1673$ 对。