证明霍特林统计量对非退化变换保持不变。

对于一个非退化变换h，它是单射的、可逆的，且对于任意的x，h(x)的概率密度函数存在。那么我们可以证明，霍特林统计量在h的变换下保持不变。假设原始数据为X，变换后的数据为Y=h(X)。那么，我们有以下等式：

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2
Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2

我们将Var(Y)展开：

Var(Y) = E[(h(X))^2] - (E[h(X)])^2

根据变换h的性质，我们有：

E[h(X)] = ∫h(x)f(x)dx = ∫f(y)dy = 1 (因为h是可逆的)

所以，我们可以将Var(Y)展开为：

Var(Y) = E[(h(X))^2] - 1

接下来，我们考虑霍特林统计量的定义：

H = ∫(f(x))^2dx / (Var(X))

将f(x)替换成f(h^-1(y))，有：

H' = ∫(f(h^-1(y)))^2 / (Var(X)) * |J(y)|dy

其中，J(y)是h^-1(y)的雅可比矩阵的行列式。考虑到h是单射的，有：

J(y) = |(∂x/∂y)| = 1 / |(dh/dx)|

因此，我们可以将H'表示为：

H' = ∫(f(h^-1(y)))^2 / |(dh/dx)| * dx / (Var(X))

接下来，我们使用变量替换法，令y=h(x)，那么：

dx = |(dh/dx)| * dy

于是，我们有：

H' = ∫(f(x))^2 / (Var(X)) * dx

也就是说，经过变换h后，霍特林统计量的值保持不变，证毕。

相关问题

霍特林统计量的P值如何用r语言计算

在R语言中，可以使用t.test()函数来计算霍特林统计量与其对应的p值。具体步骤如下：

1. 进行t检验，并计算霍特林统计量：

t.test(x, y, paired = TRUE)$statistic

其中，x和y是你要进行比较的两组数据，paired参数表示这是一组配对数据（如果是两组独立数据，则需要将paired设置为FALSE）。

2. 计算霍特林统计量的p值：

t.test(x, y, paired = TRUE)$p.value

以上代码将返回一个0到1之间的p值，表示在零假设成立的情况下，观察到的霍特林统计量或更极端情况的概率。

matlab 霍特林变换

霍特林变换（Hough Transform）是一种图像处理算法，用于检测图像中的直线、圆等几何形状。它是由霍特林（Paul Hough）在1962年提出的。

在 MATLAB 中，可以使用 hough 函数来实现霍特林变换。该函数的基本语法格式如下：

[H,theta,rho] = hough(BW)

其中，BW 表示二值化后的图像，H 是霍特林变换的结果矩阵，theta 是角度值的向量，rho 是距离值的向量。

在得到霍特林变换的结果后，可以使用 houghpeaks 函数来寻找霍特林变换矩阵中的峰值点。该函数的基本语法格式如下：

P = houghpeaks(H,numpeaks)

其中，H 是霍特林变换的结果矩阵，numpeaks 是需要寻找的峰值点的数量。

最后，可以使用 houghlines 函数来提取霍特林变换中的直线信息。该函数的基本语法格式如下：

lines = houghlines(BW,theta,rho,P)

其中，BW 表示二值化后的图像，theta 和 rho 分别是角度值和距离值的向量，P 是 houghpeaks 函数返回的峰值点信息。

需要注意的是，霍特林变换对于噪声比较敏感，因此在实际应用中需要对图像进行预处理，以减少噪声的影响。同时，由于霍特林变换的计算量较大，对于大尺寸的图像可能会导致计算时间过长。